WikiSort.ru - Не сортированное

Счётное множество — бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество ${\displaystyle X}$ является счётным, если существует биекция со множеством натуральных чисел: ${\displaystyle X\leftrightarrow \mathbb {N} }$ , другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел. В иерархии алефов мощность счётного множества обозначается ${\displaystyle \aleph _{0}}$ («алеф-нуль»).

Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством в следующем смысле: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество; всякое подмножество счётного множества конечно или счётно; если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, равномощное с исходным^[1].

Объединение, прямое произведение конечного или счётного числа счётных множеств счётно^[2][1]. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно; однако множество всех подмножеств счётного множества континуально, и счётным не является.

Счётными являются множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , алгебраических чисел ${\displaystyle \mathbb {A} }$ . Счётными являются объекты, получающиеся в результате рекурсивных процедур, в частности, таковы вычислимые числа, арифметические числа (как следствие, счётно и кольцо периодов, поскольку каждый период является вычислимым). Счётны множество всех конечных слов над счётным алфавитом и множество всех слов над конечным алфавитом. Любые объекты, которые можно определить со взаимно-однозначным сопоставлением со счётным множеством — счётны, например: любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на вещественной оси; множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы две точки с рациональными координатами; любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны.

Несчётное множество — такое бесконечное множество, которое не является счётным, таковы, в частности, множества вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , чисел Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ . Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

Примечания

Литература

• Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.