WikiSort.ru - Не сортированное

Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор^[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов^[2].

Впервые этот подкласс торических сечений^[en] изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом^[3]. Переоткрыты в XVII веке^[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат^[4]:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c}$ .

Другая форма уравнения в декартовых координатах:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})}$ ,

в ней ${\displaystyle a}$  — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом ${\displaystyle r}$ образован тор. При ${\displaystyle c=0}$ кривая состоит из двух окружностей радиуса ${\displaystyle a}$ с центрами ${\displaystyle (\pm r,0)}$ ; при ${\displaystyle c=r+a}$ кривая вырождается в точку — начало координат, если же ${\displaystyle c>r+a}$ — то кривая состоит из пустого множества точек^[3].

Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую^[5], симметричную относительно осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Уравнение в полярных координатах:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})}$ ,

или

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f}$ .

Примечания

Литература

• Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Spiric Section (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Spiric Sections (неопр.). MacTutor History (1 января 1997).
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Perseus (англ.) — биография в архиве MacTutor.