Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает восьмёрку или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно , опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется , расположены они на оси , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
Фокусы лемнискаты — и . Возьмём произвольную точку . Произведение расстояний от фокусов до точки есть
и по определению оно равно :
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:
Выносим общий множитель и переносим:
Далее можно сделать замену , хотя это не обязательно:
В данном случае — радиус окружности, описывающей лемнискату.
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно . Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.
Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество :
Делим на , предполагая, что и используем ещё одно тождество: :
Как и в случае прямоугольной системы можно заменить :
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
Уравнение лемнискаты в полярной системе
подставим в формулы перехода к полярной системе координат возведённые в квадрат:
Используем тригонометрические формулы и :
Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение :
Выполнив необходимые преобразования, получаем:
Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:
Если произвести замену , то получаем искомые параметрические уравнения:
Пусть, например, — фокусы.
Существует прямоугольная система координат (на рисунке — ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид
Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее в . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.
Середина отрезка — , значит перенос только на по оси :
После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:
значит .
Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона к :
Формулы преобразования:
Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:
Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:
После преобразований:
Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами в стандартной прямоугольной системе координат.
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при , синусоидальной спирали с индексом и лемнискаты Бута при , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Вывод |
---|
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
однако, легко вывести и по определению.
Формулы перехода к полярной системе координат: Выражаем : Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем и : —- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: Находим производные по : Подставляем в формулу радиуса: Возвращаемся к уравнению лемнискаты: Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: |
Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины фокусного отрезка строится произвольная секущая ( и — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки и , равные хорде . Точки , лежат на разных петлях лемнискаты.
На плоскости выбираются две точки — и — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — и ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — и соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок соединяется не с концом центрального , а с его серединой. Пропорции также другие: .
Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:
№ | |||
---|---|---|---|
1 | 2 | 0 | 2 |
2 | 2 | 1 | 1 |
3 | 0 | 1 | 1 |
4 | 0 | −1 | 1 |
5 | −2 | −1 | 1 |
6 | −2 | 0 | 2 |
7 | −2 | 1 | 1 |
8 | 0 | 1 | 1 |
9 | 0 | −1 | 1 |
10 | 2 | −1 | 1 |
11 | 2 | 0 | 2 |
Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .