WikiSort.ru - Не сортированное

Дельтоида (или кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при ${\displaystyle k=3}$ .

История

Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Уравнения

• Неявное уравнение в прямоугольной системе:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x+27}$

• Параметрическое:

${\displaystyle {\begin{cases}x=2r\cos {t}+r\cos(2t)\\y=2r\sin {t}-r\sin(2t)\end{cases}}}$ , где ${\displaystyle t={\frac {\varphi }{3}}}$  — треть полярного угла.

Свойства

• Длина пересечения области, ограниченной дельтоидой, с любой её касательной фиксирована и равна ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}{\cdot R}}$ , где ${\displaystyle R}$  — радиус неподвижной окружности.
• Дельтоида — алгебраическая кривая 4 порядка.
• Длина кривой ${\displaystyle \textstyle L={\frac {16}{3}}R}$ , где ${\displaystyle R}$  — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, ${\displaystyle \textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}}$ .

См. также

• Астроида — гипоциклоида при ${\displaystyle k=4}$ .
• Дельтоид 
• Задача об иголке

Ссылки

• Дельтоида в журнале Квант.
• Wolfram MathWorld.