WikiSort.ru - Не сортированное

Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии ${\displaystyle L}$  — это линия ${\displaystyle L_{*}}$ , по отношению к которой ${\displaystyle L}$ является эволютой.

Иными словами — кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия ${\displaystyle L}$ задана уравнением ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(s)}$ (где ${\displaystyle s}$  — натуральный параметр), то уравнение её эвольвенты имеет вид

${\displaystyle {\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}}$ ,

где ${\displaystyle \alpha }$  — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

${\displaystyle X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

${\displaystyle x=r(\cos(t)+t\sin(t))}$

${\displaystyle y=r(\sin(t)-t\cos(t))}$

где ${\displaystyle t}$  — угол, a ${\displaystyle r}$  — радиус

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи.

См. также

В Викисловаре есть статья «эвольвента»

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика