WikiSort.ru - Не сортированное

Через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

сводится к решению кубической резольвенты

${\displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0}$

Корни резольвенты ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ связаны с корнями исходного уравнения ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$

${\displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})}$

${\displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}$

Корни резольвенты могут быть решены по формуле Кардано. Три формулы соотношений между ${\displaystyle y_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ вместе с исходным уравнением дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта — Эйлера

В уравнении четвёртой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0}$

сделаем подстановку ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{4a}}}$ , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0,}$

где

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},}$

${\displaystyle q={\frac {8a^{2}d+b^{3}-4abc}{8a^{3}}},}$

${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}.}$

Корни ${\displaystyle y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}}$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{1}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{2}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{3}}},}$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

${\displaystyle (\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},}$

причём ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3}}$  — это корни кубического уравнения

${\displaystyle z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.}$

Решение Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ может быть найдено по методу Феррари. Если ${\displaystyle y_{1}}$  — произвольный корень кубического уравнения

${\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,}$

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

${\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.