WikiSort.ru - Не сортированное

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ обычно обозначается ${\displaystyle A\cap B}$ , но в редких случаях может обозначаться ${\displaystyle AB}$ ^[1].

Определение

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ${\displaystyle 2^{X}}$ ;
• Операция пересечения множеств коммутативна

  ${\displaystyle A\cap B=B\cap A;}$

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);}$

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:^[2]

  ${\displaystyle \left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)}$

• Универсальное множество ${\displaystyle U}$ является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  ${\displaystyle A\cap U=A;}$

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  ${\displaystyle A\cap A=A;}$

• Если ${\displaystyle \varnothing }$  — пустое множество, то

  ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing .}$

Пример

Пусть ${\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6\}.}$ Тогда

${\displaystyle A\cap B=\{3,\;4\}.}$

Примечания

См. также

• Операции над множествами