WikiSort.ru - Не сортированное

Винтовая ли́ния — кривая в трёхмерном пространстве, расположенная на круглом цилиндре или круглом конусе, пересекающая образующие под одинаковым углом^[1].

Цилиндрическая винтовая линия задаётся в прямоугольных координатах параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot \cos t,a\cdot \sin t,b\cdot t)}$ ,

или в иной записи:

${\displaystyle x(t)=a\cdot \cos t,}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot \sin t,}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$ ,

где ${\displaystyle a,b}$  — вещественные константы, не равные нулю.

Проекция цилиндрической винтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$ представляет собой окружность.

Коническая винтовая линия (также спиральновинтовая линия^[2]), определяется параметрическими уравнениями вида:

${\displaystyle t\mapsto (a\cdot t\cdot \cos t,a\cdot t\cdot \sin t,b\cdot t)}$ ,

или:

${\displaystyle x(t)=a\cdot t\cdot \cos t}$

${\displaystyle y(t)=a\cdot t\cdot \sin t}$

${\displaystyle z(t)=b\cdot t}$ .

Проекция спиральновинтовой линии на плоскость ${\displaystyle x,y}$  — спираль Архимеда.

Тело, имеющее форму винтовой линии в разговорной речи часто называют спиралью, что не совсем корректно, так как в математике спиралями называют некоторый класс плоских кривых.

«Правые» и «левые» винтовые линии

Существуют зеркально-симметричные винтовые линии. «Правыми» винтовыми линиями принято называть линии, порождаемые по «правилу буравчика» или по «правилу правой руки». Это свойство винтовых линий называют хиральностью — «правая хиральность» и «левая хиральность». Пару зеркально-симметричных винтовых линий называют энантиоморфами. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ в параметрическом задании цилиндрической винтовой линии в правой тройке координат положителен, то такую линию называют «правой», если отрицателен — то «левой».

Подавляющее число резьб, применяемых в машиностроении, у крепёжных метизов имеют «правую» резьбу или «правую» хиральность, то есть завинчивание производится по часовой стрелке. «Левые» резьбы применяются очень редко в специальных применениях, например, для предотвращения самоотвинчивания шкивов с валов механизмов.

Элементы и свойства

Величину ${\displaystyle 2\cdot \pi \cdot b}$ называют шагом винтовой линии, геометрически это расстояние между соседними витками линии, отсчитанное вдоль образующей цилиндра.

Все винтовые линии являются линиями откоса, то есть, касательные к ним образуют постоянный угол с некоторым постоянным направлением. Как и у всякой линии откоса, у цилиндрической винтовой линии кривизна ${\displaystyle C}$ и кручение ${\displaystyle S}$ постоянны в любой точке и равны:

${\displaystyle C={\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$ ,

${\displaystyle S={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}$ .

Элемент длины ${\displaystyle dL}$ :

${\displaystyle dL=dt\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ .

Угол ${\displaystyle \Phi }$ между касательной к цилиндрической винтовой линии и касательной к окружности цилиндра в этой же точке называют геликальным углом, он равен:

${\displaystyle \Phi =\arctan({\tfrac {b}{a}})}$ .

Примеры тел в виде винтовой линии

Форму винтовой линии или геликоида имеют, например, следующие молекулы:

• ДНК — двойная спираль (двойной винт),
• РНК,
• актиновая нить — двойная спираль,
• кальмодулин,
• молекулы, имеющие хиральность,
• аспарагиназа.

Формы винтовых линий имеют также многие детали машин и механизмов — пружины, часть винтовых свёрл, соединительные винты, болты, шпильки, винты (шнеки) мясорубок, экструдеров, винт Архимеда, шнеки снегоуборщиков и другие (реализуют винтовую поверхность — геликоид).

Примечания