WikiSort.ru - Не сортированное

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по ${\displaystyle OX}$ , а ось ординат по ${\displaystyle OY}$ , на отрезке ${\displaystyle OA=2a}$ , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке ${\displaystyle A}$ проводится касательная ${\displaystyle UV}$ . Из точки ${\displaystyle O}$ проводится произвольная прямая ${\displaystyle OF}$ , которая пересекает окружность в точке ${\displaystyle E}$ и касательную в точке ${\displaystyle F}$ . От точки ${\displaystyle F}$ , в направлении точки ${\displaystyle O}$ , откладывается отрезок ${\displaystyle FM}$ , длина которого равна длине отрезка ${\displaystyle OE}$ . При вращении линии ${\displaystyle OF}$ вокруг точки ${\displaystyle O}$ , точка ${\displaystyle M}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011 года.

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)}$

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.}$

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

${\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=}$

${\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=}$

${\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}$

Параметрическое уравнение циссоиды:

${\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},}$ ${\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},}$

где

${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }$ .

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка ${\displaystyle P}$ , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ${\displaystyle E}$ ; ось симметрии — диаметр ${\displaystyle BD}$ . Из точки ${\displaystyle P}$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка ${\displaystyle M}$ , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой ${\displaystyle OE}$ . Этим методом Диокл построил только кривую ${\displaystyle DOB}$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (${\displaystyle DOB}$ ) замкнуть дугой окружности ${\displaystyle EAD}$ , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ , которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту ${\displaystyle UV}$ , уравнение которой: ${\displaystyle x=2a}$ , где ${\displaystyle a}$  — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является ассимптотой циссоиды.^[1]

Примечания

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 12 мая 2011 года.