WikiSort.ru - Не сортированное

Линейные кривые

При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P₀ и P₁ определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}\quad t\in [0,1]}$ .

Квадратичные кривые

Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся тремя опорными точками: P₀, P₁ и P₂.

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2t(1-t)\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2},\quad t\in [0,1]}$ .

Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.

${\displaystyle t={\frac {\mathbf {P} _{0}-\mathbf {P} _{1}\pm {\sqrt {(\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2})\mathbf {B} +\mathbf {P} _{1}^{2}-\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{2}}}}{\mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}\neq 0}$

${\displaystyle t={\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{2(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})}},\quad \mathbf {P} _{0}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{2}=0,\quad \mathbf {P} _{0}\neq \mathbf {P} _{1}}$

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {\mathbf {B} -\mathbf {P} _{0}}{\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1}}}},\quad \mathbf {P} _{0}=\mathbf {P} _{1}\neq \mathbf {P} _{2}}$

Кубические кривые

В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {P} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{3},\quad t\in [0,1]}$ .

Четыре опорные точки P₀, P₁, P₂ и P₃, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой.

Линия берёт начало из точки P₀, направляясь к P₁ и заканчивается в точке P₃, подходя к ней со стороны P₂. То есть, кривая не проходит через точки P₁ и P₂, они используются для указания её направления. Длина отрезка между P₀ и P₁ определяет, как скоро кривая повернёт к P₃.

В матричной форме кубическая кривая Безье записывается следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {B} (t)={\begin{bmatrix}t^{3}&t^{2}&t&1\end{bmatrix}}\mathbf {M} _{B}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{0}\\\mathbf {P} _{1}\\\mathbf {P} _{2}\\\mathbf {P} _{3}\end{bmatrix}}}$ ,

где ${\displaystyle \mathbf {M} _{B}}$ называется базисной матрицей Безье:

${\displaystyle \mathbf {M} _{B}={\begin{bmatrix}-1&3&-3&1\\3&-6&3&0\\-3&3&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

В современных графических системах и форматах, таких как PostScript (а также основанные на нём форматы Adobe Illustrator и Portable Document Format (PDF)), Scalable Vector Graphics (SVG)^[1], Metafont, CorelDraw и GIMP для представления криволинейных форм используются сплайны Безье, составленные из кубических кривых.

Линейные кривые

Параметр t в функции, описывающей линейный случай кривой Безье, определяет, где именно на расстоянии от P₀ до P₁ находится B(t). Например, при t = 0,25 значение функции B(t) соответствует четверти расстояния между точками P₀ и P₁. Параметр t изменяется от 0 до 1, а B(t) описывает отрезок прямой между точками P₀ и P₁.

Квадратичные кривые

Для построения квадратичных кривых Безье требуется выделение двух промежуточных точек Q₀ и Q₁ из условия, чтобы параметр t изменялся от 0 до 1:

• Точка Q₀ изменяется от P₀ до P₁ и описывает линейную кривую Безье.
• Точка Q₁ изменяется от P₁ до P₂ и также описывает линейную кривую Безье.
• Точка B изменяется от Q₀ до Q₁ и описывает квадратичную кривую Безье.

Кривые высших степеней

Для построения кривых высших порядков соответственно требуется и больше промежуточных точек. Для кубической кривой это промежуточные точки Q₀, Q₁ и Q₂, описывающие линейные кривые, а также точки R₀ и R₁, которые описывают квадратичные кривые: более простое уравнение ${\displaystyle {\frac {P_{0}Q_{0}}{P_{0}P_{1}}}={\frac {Q_{1}P_{1}}{P_{1}P_{2}}}={\frac {BQ_{0}}{Q_{1}Q_{0}}}}$ .

Для кривых четвёртой степени это будут точки Q₀, Q₁, Q₂ и Q₃, описывающие линейные кривые, R₀, R₁ и R₂, которые описывают квадратичные кривые, а также точки S₀ и S₁, описывающие кубические кривые Безье:

Свойства кривой Безье

• непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;
• кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;
• при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой прямую линию;
• прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;
• кривая Безье симметрична, то есть обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;
• масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает её стабильности, так как она с математической точки зрения «аффинно инвариантна»;
• изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;
• любой частичный отрезок кривой Безье также является кривой Безье;
• степень (порядок) кривой всегда на одну ступень меньше числа контрольных точек. Например, при трех контрольных точках форма кривой — парабола, так как парабола — кривая 2-го порядка;
• окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;
• невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые), хотя существуют алгоритмы, строящие приближённую параллельную кривую Безье с приемлемой для практики точностью.