Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.
Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение
называется канторовым множеством.
Множества |
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например , так как .
Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.
В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [1]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[2][3].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .