Определение
Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как образ отображения
-
которое переводит точку с однородными координатами
в точку
-
В аффинной карте
это отображение записывается более простым образом:
-
Нетрудно видеть, что рациональная нормальная кривая получается замыканием аффинной кривой
при помощи единственной бесконечно удалённой точки[en].
Эквивалентным образом, рациональную нормальную кривую можно задать как множество общих нулей однородных многочленов
-
где
— однородные координаты на
. Рассматривать все эти эти многочлены не обязательно, для задания кривой достаточно выбрать, например,
и
Альтернативная параметризация
Пусть
—
различных точек на
Тогда многочлен
-
является однородным многочленом степени
с различными корнями. Многочлены
-
образуют базис пространства однородных многочленов степени n. Отображение
-
также задаёт рациональную нормальную кривую. Действительно, мономы
являются всего лишь одним из возможных базисов в пространстве однородных многочленов, и его можно перевести линейным преобразованием в любой другой базис.
Данное отображение отправляет нули многочлена
в «координатные точки», то есть точки, все однородные координаты которых, кроме одной, равны нулю. Обратно, рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки, может быть задана параметрически при помощи некоторого многочлена
Свойства
- Любые
точки на рациональной нормальной кривой в
линейно независимы. Обратно, любая кривая с таким свойством является рациональной нормальной.
- Для любых
точек в
таких что любые
из них линейно независимы, существует единственная рациональная нормальная кривая, проходящая через эти точки. Для построения такой кривой достаточно перевести
из точек в «координатные», а затем, если оставшиеся точки перешли в
в качестве многочлена
выбрать многочлен, зануляющийся в точках
- Рациональная нормальная кривая в случае
не является полным пересечением, то есть её невозможно задать числом уравнений, равным её коразмерности.[1]
Литература
- Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .