WikiSort.ru - Не сортированное

Эллипти́ческий интегра́л — некоторая функция ${\displaystyle f}$ над полем действительных или комплексных чисел, которая может быть формально представлена в следующем виде:

${\displaystyle f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt}$ ,

где ${\displaystyle R}$  — рациональная функция двух аргументов, и ${\displaystyle P}$  — квадратный корень из многочлена 3-й или 4-й степени, не имеющего кратных корней, ${\displaystyle c}$  — некоторая константа из поля, где определена функция.

В общем случае эллиптический интеграл не может быть формально выражен в элементарных функциях. Исключением являются случаи, когда ${\displaystyle P}$ имеет кратные корни или когда многочлены в ${\displaystyle R(x,\;y)}$ не содержат нечётных степеней ${\displaystyle y}$ .

Однако для каждого эллиптического интеграла существуют формулы приведения его к сумме элементарных функций и от одного до трёх нормальных эллиптических интегралов, называемых эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го рода).

История

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и позднее — Леонардом Эйлером.

Обозначения

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В большинстве работ авторы придерживаются канонического наименования. Прежде чем определить сами интегралы, необходимо ввести наименования для аргументов:

• ${\displaystyle \alpha }$  — модулярный угол (иногда модулярный угол обозначается лигатурой ${\displaystyle o\!\varepsilon }$ );
• ${\displaystyle k=\sin \alpha }$  — модуль эллиптического интеграла;
• ${\displaystyle m=k^{2}=\sin ^{2}\alpha }$  — параметр.

Следует отметить, что нормальные эллиптические интегралы Лежандра, как полные, так и неполные, являются чётными функциями модуля ${\displaystyle k}$ (и модулярного угла ${\displaystyle \alpha }$ ). Их область определения ${\displaystyle -1\leq k\leq +1.}$

Иногда, преимущественно в советской научной литературе, под параметром эллиптического интеграла подразумевают характеристику нормального эллиптического интеграла Лежандра 3-го рода (напр., Корн Г., Корн Т. «Справочник по математике для научных работников и инженеров»).

Заметим, что представленные выше величины определяются одна через другую; определение одной из них задаёт и две остальные.

Эллиптический интеграл зависит также и от другого параметра, который, как и предыдущий, можно ввести несколькими способами:

• ${\displaystyle x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,}$ где ${\displaystyle \operatorname {sn} }$  — эллиптическая функция Якоби;
• ${\displaystyle \varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u}$  — амплитуда;

Определение одного из этих параметров определяет остальные. Таким образом, они могут использоваться вперемешку. Заметим, что ${\displaystyle u}$ зависит также и от ${\displaystyle m}$ . Несколько дополнительных уравнений связывают ${\displaystyle u}$ с другими параметрами:

${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u}$

и

${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$

Последнее иногда называется дельта амплитуда и записывается как

${\displaystyle \Delta (\varphi )=\operatorname {dn} u.}$

Иногда в литературе ссылаются на дополнительный параметр, дополнительный модуль или дополнительный модулярный угол. Их вводят следующим способом:

• ${\displaystyle m_{1}\,=\,1-m}$  — дополнительный параметр;
• ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$  — дополнительный модуль;
• ${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}$  — дополнительный модулярный угол.

Нормальный эллиптический интеграл 1-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода ${\displaystyle F}$ определяется как

${\displaystyle F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$ ,

или, в форме Якоби,

${\displaystyle F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}}$ .

Обозначения эллиптических интегралов не являются универсально общепринятыми. Следует различать такие разделители между переменной и параметром, как «\», «|» и «,». Там, где в качестве разделителя используется вертикальная черта, за ней ставится параметр интеграла, тогда как за обратной косой чертой ставится модулярный угол. В частности, верно соотношение

${\displaystyle F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )}$ .

Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода E определяется как

${\displaystyle E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$

или, используя подстановку ${\displaystyle x=\sin \varphi ,}$

${\displaystyle E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2}}}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.}$

Нормальный эллиптический интеграл 3-го рода (неполный)

Нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода ${\displaystyle \Pi }$ определяется как

${\displaystyle \Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}$

или

${\displaystyle \Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}}$

Число ${\displaystyle c}$ называется характеристикой и может принимать любое значение, независимо от остальных аргументов. Свойства эллиптического интеграла 3-го рода существенно зависят от величины характеристики. Заметим, что значение интеграла ${\displaystyle \Pi (-1;\;\pi /2\mid m)}$ стремится к бесконечности для любых ${\displaystyle m}$ .

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода

В случае, если амплитуда ${\displaystyle \varphi }$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 1-го рода равна ${\displaystyle \pi /2}$ , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 1-го рода:

${\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}=F(\pi /2,\;k)}$

или

${\displaystyle K(k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}.}$

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно представить в виде степенного ряда:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},}$

что эквивалентно выражению

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),}$

где ${\displaystyle n!!}$ обозначает двойной факториал.

Полный эллиптический интеграл 1-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).}$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода

В случае, если амплитуда ${\displaystyle \varphi }$ нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода равна ${\displaystyle \pi /2}$ , он называется полным нормальным эллиптическим интегралом Лежандра 2-го рода:

${\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi =E(\pi /2,\;k)}$

или

${\displaystyle E(k)=\int \limits _{0}^{1}\,{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx.}$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно представить в виде степенного ряда:

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$

что эквивалентно выражению

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\ldots \right).}$

Полный эллиптический интеграл 2-го рода можно записать через гипергеометрическую функцию следующим образом:

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},\;-{\frac {1}{2}};\;1;\;k^{2}\right).}$

Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 3-го рода

Аналогично полным эллиптическим интегралам 1-го и 2-го рода можно ввести полный эллиптический интеграл 3-го рода:

${\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}}$

или

${\displaystyle \Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}.}$

Дополнительные эллиптические интегралы (неполные)

См. также

• Эллиптические функции
• Эллиптическая кривая
• Специальные функции
• Аппроксимации эллиптических интегралов

Литература

• Бобылёв Д. К. Эллиптические интегралы и функции // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Справочник по специальным функциям // Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Мир, 1979. (См. гл. 17).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977.
• Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — Т. 3 (гл. 13).
• Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптический функций. (гл. 3, 7).
• Эллиптические функции (недоступная ссылка), Процедуры для Matlab.