WikiSort.ru - Не сортированное

${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытия

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . Не более чем счётный набор ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ будем называть ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытием множества ${\displaystyle \Omega }$ , если выполнены следующие два свойства:

• ${\displaystyle \Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}}$
• для любого ${\displaystyle i\in I}$ : ${\displaystyle |\omega _{i}|<\varepsilon }$ (здесь и далее ${\displaystyle |\omega |}$ означает диаметр множества ${\displaystyle \omega }$ ).

${\displaystyle \alpha }$ -мера Хаусдорфа

Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$ . Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}}$  — покрытие множества ${\displaystyle \Omega }$ . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: ${\displaystyle F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }}$ .

Обозначим через ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ «минимальный размер» ${\displaystyle {\varepsilon }}$ -покрытия множества ${\displaystyle \Omega }$ : ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))}$ , где инфимум берётся по всем ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытиям множества ${\displaystyle \Omega }$ .

Очевидно, что функция ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ (нестрого) возрастает при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$ , поскольку при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$ мы только сжимаем множество возможных ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0+}$ :

${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0+}M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ .

Величина ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ называется ${\displaystyle \alpha }$ -мерой Хаусдорфа множества ${\displaystyle \Omega }$ .

Свойства ${\displaystyle \alpha }$ -меры Хаусдорфа

• ${\displaystyle \alpha }$ -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на ${\displaystyle X}$ .
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; ${\displaystyle d}$ -мера Хаусдорфа множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ совпадает с их ${\displaystyle d}$ -мерным объёмом.
• ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ убывает по ${\displaystyle \alpha }$ . Более того, для любого множества ${\displaystyle \Omega }$ существует^[1][2][3] критическое значение ${\displaystyle \alpha _{0}}$ , такое, что:
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=0}$ для всех ${\displaystyle \alpha >\alpha _{0}}$
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=+\infty }$ для всех ${\displaystyle \alpha <\alpha _{0}}$

Значение ${\displaystyle M_{\alpha _{0}}(\Omega )}$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа ${\displaystyle \dim _{H}\Omega }$ множества ${\displaystyle \Omega }$ называется число ${\displaystyle \alpha _{0}}$ из предыдущего пункта.