WikiSort.ru - Не сортированное

Тангенс угла наклона касательной равен значению первой производной функции. Перепишем уравнение строфоиды (прямой) в следующем виде:

${\displaystyle y=xz}$ , где ${\displaystyle z={\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}}$ .

${\displaystyle y'=z+xz'}$

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}}$

${\displaystyle \ln {z}={\frac {1}{2}}\ln {a+x}-{\frac {1}{2}}\ln {a-x}}$

Дифференцируем данное уравнение:

${\displaystyle {\frac {z'}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{a+x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{a-x}}={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {z'}{z}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{a+x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{a-x}}={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle z'={\frac {a}{a^{2}-x^{2}}}{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}}$

отсюда

${\displaystyle y'={\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\left(1+{\frac {ax}{a^{2}-x^{2}}}\right)}$

Уравнение верхней дуги ${\displaystyle AM_{1}O}$ :

${\displaystyle y=-x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\qquad }$    (1)

Половина площади левой петли строфоиды равна интегралу от уравнения (1) в пределах от ${\displaystyle -a}$ до ${\displaystyle 0}$ .

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-a}^{0}x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}\,dx\qquad }$    (2)

Подстановка:

${\displaystyle u=a-x,\qquad a+x=2a-u,\qquad dx=-du}$ .

Пределы интегрирования:

${\displaystyle x=-a\Rightarrow \;u=2a,\qquad x=0\Rightarrow \;u=a}$

Интеграл (2) преобразуется к виду:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{2a}^{a}\left(a-u\right){\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du=}$

${\displaystyle =-\int \limits _{2a}^{a}u{\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du+a\int \limits _{2a}^{a}{\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du\qquad }$    (3)

Первый интеграл из уравнения (3):

${\displaystyle -\int \limits _{2a}^{a}u{\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du=-\int \limits _{2a}^{a}{\sqrt {2au-u^{2}}}\,du\qquad }$    (4)

Подстановка:

${\displaystyle v=u-a,\qquad u=v+a,\qquad dv=du}$ .

Пределы интегрирования:

${\displaystyle u=2a\Rightarrow \;v=a,\qquad u=a\Rightarrow \;v=0}$ .

Интеграл (4) преобразуется к виду:

${\displaystyle -\int \limits _{a}^{0}{\sqrt {2a\left(v+a\right)-\left(v+a\right)^{2}}}\,dv=-\int \limits _{a}^{0}{\sqrt {a^{2}-v^{2}}}\,dv=}$

${\displaystyle =-\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {a^{2}-v^{2}}}+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {v}{a}}\right]{\begin{cases}0\\a\end{cases}}=}$

${\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin 1={\frac {a^{2}\pi }{4}}}$ .

Второй интеграл из уравнения (3):

${\displaystyle a\int \limits _{2a}^{a}{\sqrt {\frac {2a-u}{u}}}\,du\qquad }$    (5)

Подстановка:

${\displaystyle u=v^{2},\qquad du=2vdv}$ .

Пределы интегрирования:

${\displaystyle u=2a\Rightarrow \;v={\sqrt {2a}},\qquad u=a\Rightarrow \;v={\sqrt {a}}}$ .

Интеграл (5) преобразуется к виду:

${\displaystyle 2a\int \limits _{\sqrt {2a}}^{\sqrt {a}}{\sqrt {2a-v^{2}}}\,dv=}$

${\displaystyle =2a\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {2a-v^{2}}}+a\arcsin {\frac {v}{\sqrt {2a}}}\right]{\begin{cases}{\sqrt {a}}\\{\sqrt {2a}}\end{cases}}=}$

${\displaystyle =-{\frac {a^{2}\pi }{2}}+a^{2}}$ .

Итак:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {a^{2}\pi }{4}}-{\frac {a^{2}\pi }{2}}+a^{2}}$

Площадь ${\displaystyle S_{1}}$ равна:

${\displaystyle S_{1}=2a^{2}-{\frac {a^{2}\pi }{2}}}$ .

Если координата ${\displaystyle x}$ стремится к ${\displaystyle a}$ , то правые ветви строфоиды стремятся к ${\displaystyle \pm \infty }$ , но площадь между линией ${\displaystyle U'OV'}$ и асимптотой ${\displaystyle UV}$ конечна и определяется интегралом (2) в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle a}$ . В этом случае площадь получится отрицательной, так как уравнение (1) описывает ветвь OU', а площадь, заключенная между этой ветвью и лучом OX и лучом BU — отрицательна. Если вычислить интеграл (2) в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle a}$ , получим следующее выражение для площади ${\displaystyle S_{2}}$ :

${\displaystyle S_{2}=2a^{2}+{\frac {a^{2}\pi }{2}}}$ .