WikiSort.ru - Не сортированное

Итеративный метод

Куб ${\displaystyle C_{0}}$ с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба ${\displaystyle C_{0}}$ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество ${\displaystyle C_{1}}$ , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество ${\displaystyle C_{2}}$ , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots }$ ,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаос

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос^[en][1][2], который заключается в следующем:

1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
2. Задаётся некоторая начальная точка ${\displaystyle P_{0}}$ , лежащая внутри куба.
3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
   1. Случайно выбирается аттрактор ${\displaystyle A}$ из 20 возможных с равной вероятностью.
   2. Строится точка ${\displaystyle P_{i}}$ с новыми координатами: ${\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}}$ , где: ${\displaystyle x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}}$ — координаты предыдущей точки ${\displaystyle P_{i-1}}$ ; ${\displaystyle x_{A},y_{A},z_{A}}$ — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.