WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0}$

в котором по крайней мере один из коэффициентов ${\displaystyle a_{11}}$ , ${\displaystyle a_{22}}$ , ${\displaystyle a_{33}}$ , ${\displaystyle a_{12}}$ , ${\displaystyle a_{23}}$ , ${\displaystyle a_{13}}$ отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность ${\displaystyle S}$ называется цилиндрической поверхностью с образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$ , если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей ${\displaystyle {\vec {l}}}$ , целиком принадлежит поверхности ${\displaystyle S}$ .

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ имеет уравнение ${\displaystyle f(x,y)=0}$ , то ${\displaystyle S}$  — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси ${\displaystyle OZ}$ .

Кривая, задаваемая уравнением ${\displaystyle f(x,y)=0}$ в плоскости ${\displaystyle z=0}$ , называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle y^{2}=2px}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=1}$
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$	${\displaystyle y^{2}=0}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}\!=0}$

Конические поверхности

Основная статья: Коническая поверхность

Поверхность ${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью с вершиной в точке ${\displaystyle O}$ , если для любой точки ${\displaystyle M_{0}}$ этой поверхности прямая, проходящая через ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle O}$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Функция ${\displaystyle F(x,y,z)}$ называется однородной порядка ${\displaystyle m}$ , если ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \;\forall x,y,z}$ выполняется следующее: ${\displaystyle F(tx,ty,tz)=t^{m}F(x,y,z)}$

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ , где ${\displaystyle F(x,y,z)}$  — однородная функция, то ${\displaystyle S}$  — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность ${\displaystyle S}$ задана функцией ${\displaystyle F(x,y,z)}$ , являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то ${\displaystyle S}$ называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}$

Поверхности вращения

Поверхность ${\displaystyle S}$ называется поверхностью вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$ , если для любой точки ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$ этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости ${\displaystyle z=z_{0}}$ с центром в ${\displaystyle (0,0,z_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность ${\displaystyle S}$ задана уравнением ${\displaystyle F(x^{2}+y^{2},z)=0}$ , то ${\displaystyle S}$  — поверхность вращения вокруг оси ${\displaystyle OZ}$ .

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:	Гиперболический параболоид:
${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2z}$

В случае, если ${\displaystyle a=b\neq 0}$ , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Матричный вид уравнения поверхности второго порядка

Уравнение поверхности второго порядка может быть переписано в матричном виде:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=0}$

Также можно выделить квадратичную и линейную части друг от друга:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}+a_{44}=0}$

Если обозначить ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\quad b={\begin{pmatrix}a_{14}&a_{24}&a_{34}\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{T}}$ , то уравнение приобретает следующий вид:

${\displaystyle X^{T}AX+2bX+a_{44}=0}$

Инварианты

Значения следующих величин сохраняются при ортогональных преобразованиях базиса:

• Связанных с матрицей ${\displaystyle A}$ :
  • ${\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} \,A}$
  • ${\displaystyle I_{2}={M_{A}}_{1,2}^{1,2}+{M_{A}}_{1,3}^{1,3}+{M_{A}}_{2,3}^{2,3}}$ , где ${\displaystyle {M_{A}}_{i,j}^{i,j}}$  — минор второго порядка матрицы A, расположенный в строках и столбцах с индексами i и j.
  • ${\displaystyle I_{3}=\det A}$

• Связанных с блочной матрицей ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&a_{44}\end{pmatrix}}}$ :^{[источник не указан 1989 дней]}
  • ${\displaystyle K_{2}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=i+1}^{4}{M_{B}}_{i,j}^{i,j}}$
  • ${\displaystyle K_{3}=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=i+1}^{3}\sum _{k=j+1}^{4}{M_{B}}_{i,j,k}^{i,j,k}}$
  • ${\displaystyle K_{4}=\det B}$

При параллельном переносе системы координат величины ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},K_{4}}$ остаются неизменными.^{[источник не указан 1989 дней]} При этом:

• ${\displaystyle K_{3}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=0}$
• ${\displaystyle K_{2}}$ остается неизменной только если ${\displaystyle I_{2}=I_{3}=K_{4}=K_{3}=0}$

Классификация поверхностей второго порядка относительно значений инвариантов

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного или нескольких участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 июня 2016 года.

Литература

• В. А. Ильин, Г. Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 5, § 46-54. М., 1883.

См. также

• Квадрика
• Поверхность вращения
• Сфера
• Цилиндрическая поверхность
• Гиперболоид
• Параболоид
• Эллипсоид
• Поверхность Дарбу

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.