WikiSort.ru - Не сортированное

	конус в Викисловаре
	Конус на Викискладе

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения

• образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
• образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
• угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.
• прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
• усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

${\displaystyle V={1 \over 3}SH,}$

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

${\displaystyle 2\pi \left(1-\cos {\alpha \over 2}\right),}$

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

${\displaystyle S=\pi Rl,}$

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

${\displaystyle S=\pi R(l+R),}$

где R — радиус основания, ${\displaystyle l={\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}$  — длина образующей.

• Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi R^{2}H.}$

• Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}\pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}$

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$  — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, ${\displaystyle H}$ — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.

• Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

${\displaystyle V={1 \over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$  — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$  — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

• В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):

${\displaystyle \theta =\Theta .}$

• В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):

${\displaystyle z=r\cdot \operatorname {ctg} \Theta }$ или ${\displaystyle r=z\cdot \operatorname {tg} \Theta .}$

• В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\cdot \operatorname {ctg} \Theta .}$

Это уравнение в каноническом виде записывается как

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}$

где константы a, с определяются пропорцией ${\displaystyle c/a=\cos \Theta /\sin \Theta .}$ Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}$

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением ${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$ где функция ${\displaystyle f(x,y,z)}$  является однородной, то есть удовлетворяющей условию ${\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^{n}f(x,y,z)}$ для любого действительного числа α.

Развёртка

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора ${\displaystyle \varphi }$ в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения

• В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество ${\displaystyle K}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$ , для которого для любого ${\displaystyle \lambda \in F}$

  ${\displaystyle \lambda K=K.}$

• В топологии конус над топологическим пространством X есть фактор-пространство ${\displaystyle X\times [0,\infty )}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (x,0)\sim (y,0).}$

См. также

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)
• Световой конус

Примечания

Литература

• Статья «Конус» в Математической энциклопедии.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.