Конструкция Штейнера — способ определения невырожденного конического сечения в проективной плоскости над полем. Была предложена швейцарским математиком Якобом Штейнером.
Перспективное отображение пучка в пучок — это биекция, такая, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой , называемой осью перспективного отображения (изображение 2).
Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.
Примеры часто используемых полей — это действительные числа , рациональные числа и комплексные числа . Конструкция также работает над конечными полями, давая примеры в конечных проективных плоскостях.
Замечание: Основная теорема для проективных плоскостей утверждает, что проективное отображение в проективной плоскости над полем однозначно определяется образами трёх прямых.[5] Это значит, что для конструкции Штейнера, кроме двух точек должны быть заданы только образы трёх прямых. Поскольку образ прямой однозначно определяется точкой пересечения с образом, отсюда следует, что коника однозначно определяется пятью лежащими на ней точками.
В следующем примере известны образы трёх прямых (см. изображение 3): . Проективное отображение является композицией перспективных отображений : 1) — это перспективное отображение пучка в точке на пучок в точке с осью . 2) — это перспективное отображение пучка в точке на пучок в точке с осью . Нужно проверить, что обладает следующими свойствами: . Таким образом, для произвольной прямой может быть построен её образ . Прямые и содержат только точки коники и соответственно. Следовательно, и являются касательными к построенной конике.
Доказательство того, что этот метод позволяет построить конику, производится путём перехода к аффинной карте, в которой прямая является бесконечно удалённой прямой, точка — началом координат, точки — точками на бесконечности, соответствующими осям x и y соответственно. и точка . Аффинная часть построенной коники оказывается гиперболой .[3]
При переходе к двойственной проективной плоскости меняются местами слова «точка» и «прямая» и операции пересечения прямых и соединения точек. Двойственная проективная плоскость также является проективной плоскостью и на ней можно ввести однородные координаты. Невырожденное конической сечение в двойственной проективной плоскости также определяется квадратичной формой.
Двойственная коника может быть построена двойственным методом Штейнера:
Перспективное отображение множества точек на прямой на множество точек на прямой — это биекция, такая, что прямые, соединяющие соответственные точки, пересекаются в фиксированной точке , которая называется центром перспективного отображения (см. изображение).
Проективное отображение — это композиция конечного числа перспективных отображений.
В случае, когда основное поле имеет характеристику 2, все касательные коники пересекаются в точке, называемой узлом (или ядром) коники. Следовательно, коника, двойственная к невырожденоой конике, является подмножеством двойственной прямой, а не овальной кривой (в двойственной плоскости). Так что двойственная коника является невырожденной только в том случае, когда характеристика основного поля не равна 2.
В следующем примере известны образы трёх точек : . Проективное отображение может быть представлено как композиция перспективных отображений :
Лекгко проверяется, что отображение удовлетворяет . Таким образом, для произвольной точки может быть построен её образ и прямая является элементом двойственной коники.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .