Шары Данделена — сферы, участвующие в геометрическом построении, которое связывает планиметрическое определение эллипса, гиперболы и параболы через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса. Предложены Данделеном в 1822 году.
Рассмотрим круговой конус, рассечённый плоскостью, не проходящей через центр конуса. Рассмотрим две сферы, касающиеся поверхности конуса по окружностям C и C' и касающиеся секущей плоскости в точках F и F'. Такие сферы называют шарами Данделена. В случае, когда сечение конуса — эллипс или гипербола, существует две таких сферы, а в случае параболы — только одна.
Если сфер две, то в случае эллипса обе расположены в том же конусе, одна — над секущей плоскостью, вторая — под ней; в случае гиперболы одна сфера расположена в данном конусе, вторая — в конусе, симметричном данному относительно вершины, обе — над секущей плоскостью (или по ту же сторону от секущей плоскости, что и ось конуса, если секущая плоскость параллельна оси конуса, но не содержит её). Для параболы единственная сфера расположена в том же конусе над секущей плоскостью.
Из соображений симметрии ясно, что центры шаров лежат на оси конуса. Построим шары Данделена в случае эллипса, в случаях параболы и гиперболы построение во многом сходно. Опустим перпендикуляр из вершины конуса на секущую плоскость и проведем прямую через его основание и точку пересечения оси конуса и секущей плоскости. Через верхнюю точку пересечения этой прямой и поверхности конуса проведем биссектрису угла между этой прямой и образующей конуса, проходящей через эту точку. Через эту же точку проведём вторую биссектрису — угла, смежного указанному. Эти две биссектрисы пересекут ось конуса в центрах двух шаров Данделена. Осталось провести две сферы с центрами в этих двух точках и радиусом, равным расстоянию от центра до образующей.
Если взять произвольную точку на линии пересечения конуса и плоскости и провести через неё образующую конуса, которая пересекается с окружностями и в точках и , то при перемещении точки , точки и будут перемещаться по окружностям и с сохранением расстояния .
Так как и — отрезки двух касательных к сфере из одной точки , то и, аналогично, .
Таким образом точки на линии пересечения
Плоскость пересекает плоскости, в которых лежат окружности и по прямым, являющимся директрисами конического сечения[1]:46,47.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .