Ква́дрика или квадри́ка — n-мерная гиперповерхность в n+1-мерном пространстве, заданная как множество нулей многочлена второй степени. Если ввести координаты {x1, x2, ..., xn+1} (в евклидовом или аффинном пространстве), общее уравнение квадрики имеет вид[1]
Это уравнение можно переписать более компактно в матричных обозначениях:
где x = {x1, x2, ..., xn+1} — вектор-строка, xT — транспонированный вектор, Q — матрица размера (n+1)×(n+1) (предполагается, что хотя бы один её элемент ненулевой), P — вектор-строка, а R — константа. Наиболее часто рассматривают квадрики над действительными или комплексными числами. Определение можно распространить на квадрики в проективном пространстве, см. ниже.
Более общо, множество нулей системы полиномиальных уравнений известно как алгебраическое многообразие. Таким образом, квадрика является (аффинным или проективным) алгебраическим многообразием второй степени и коразмерности 1.
Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
Квадрики на евклидовой плоскости соответствуют случаю n = 1, то есть являются кривыми. Обычно их называют не квадриками, а кониками или коническими сечениями.
Квадрики в (трёхмерном действительном) евклидовом пространстве имеют размерность n = 2 и называются поверхностями второго порядка. Проведя ортогональную замену базиса, любую квадрику в евклидовом пространстве можно привести к нормальной форме. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 таких форм.[2] Из них 5 являются невырожденными (то есть соответствующая им билинейная форма является невырожденной). Вырожденные формы включают в себя плоскости, прямые, точки и даже квадрики без действительных точек.[3]
Невырожденные действительные квадрики в евклидовом пространстве | ||
---|---|---|
Эллипсоид | ||
Эллиптический параболоид | ||
Гиперболический параболоид | ||
Однополостный гиперболоид | ||
Двуполостный гиперболоид |
Классификация квадрик в трёхмерном аффинном пространстве совпадает с классификацией квадрик в евклидовом пространстве.[4] Различие состоит в том, что любые две квадрики из одного класса можно перевести друг в друга аффинным преобразованием, тогда как соответствующее ортогональное преобразование существует не всегда (например, эллипсоид невозможно перевести движением в эллипсоид ).
От квадрики в аффинном пространстве можно перейти к квадрике в проективном пространстве, введя однородные координаты. Пусть в аффинном пространстве введены координаты тогда в уравнении квадрики достаточно домножить линейные члены на а свободный член на Уравнение проективной квадрики в однородных координатах имеет вид
Без ограничения общности можно считать, что матрица симметрична, то есть Проективная квадрика называется невырожденной, если соответствующая ей квадратичная форма невырождена.
В действительном проективном пространстве, согласно закону инерции квадратичных форм, любую невырожденную квадратичную форму можно (проективным преобразованием) привести к виду
Поскольку сигнатура квадратичной формы является её инвариантом, в размерности n = 2 существует ровно три класса эквивалентности:
Эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид принадлежат второму классу, а гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид — третьему (последние две квадрики являются примерами линейчатых поверхностей). Ни одна квадрика в действительном проективном пространстве не принадлежит первому классу, так как соответствующее уравнение определяет пустое множество. В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .