Дискримина́нт многочлена
,
, есть произведение
-
,
- где
— все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
-
, где
— результант многочлена
и его производной
.
- В частности, дискриминант многочлена
-
- равен, с точностью до знака, определителю следующей
-матрицы:
Примеры
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
Многочлен четвертой степени
Дискриминант многочлена четвертой степени
равен
-
Для многочлена
дискриминант имеет вид
-
и равенство
определяет в пространстве
поверхность, называемую ласточкиным хвостом.
- При
многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
- При
многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
- А именно, для многочлена
:[1]
- если
, то все корни комплексные,
- если
и
, то все корни комплексные,
- если
и
, то все корни вещественные.
- При
многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
- Точнее:[1]
- если
и
, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если
и
, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
- если
и
, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
- если
и
, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
- если
,
и
, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если
,
и
, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
- если
и
, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если
и
, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
- если
и
, то один вещественный корень кратности 4.
Литература
- Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .