WikiSort.ru - Не сортированное

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если известное значение одной из них не дает информации о другой.

Независимые события

Будем считать, что дано фиксированное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ .

Определение 1. Два события ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ независимы, если

Вероятность появления события ${\displaystyle A}$ не меняет вероятности события ${\displaystyle B}$ .

Замечание 1. В том случае, если вероятность одного события, скажем ${\displaystyle B}$ , ненулевая, то есть ${\displaystyle \mathbb {P} (B)>0}$ , определение независимости эквивалентно:

${\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)=\mathbb {P} (A),}$

то есть условная вероятность события ${\displaystyle A}$ при условии ${\displaystyle B}$ равна безусловной вероятности события ${\displaystyle A}$ .

Определение 2. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}}$ , где ${\displaystyle I}$  — произвольное индексное множество. Тогда эти события попарно независимы, если любые два события из этого семейства независимы, то есть

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\neq j.}$

Определение 3. Пусть есть семейство (конечное или бесконечное) случайных событий ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}}$ . Тогда эти события совместно независимы, если для любого конечного набора этих событий ${\displaystyle \{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}}$ верно:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{N}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{i_{N}}).}$

Замечание 2. Совместная независимость, очевидно, влечет попарную независимость. Обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

• ${\displaystyle A_{1}}$ : монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;
• ${\displaystyle A_{2}}$ : монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;
• ${\displaystyle A_{3}}$ : монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ произошли, мы знаем точно, что ${\displaystyle A_{3}}$ также произошло. Более формально: ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})\quad \forall i\neq j}$ . С другой стороны, ${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{4}}\neq {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2})\cdot \mathbb {P} (A_{3})}$ .

Независимые сигма-алгебры

Определение 4. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},\;{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$ две сигма-алгебры на одном и том же вероятностном пространстве. Они называются независимыми, если любые их представители независимы между собой, то есть:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},\;A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}}$ .

Если вместо двух имеется целое семейство (возможно бесконечное) сигма-алгебр, то для него определяется попарная и совместная независимость очевидным образом.

Независимые случайные величины

См. также

• Произведение мер
• Теорема Тонелли — Фубини
• Лемма Бореля — Кантелли
• Закон нуля или единицы Колмогорова
• Копула

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.