WikiSort.ru - Не сортированное

Трансцендентность и иррациональность

• ${\displaystyle \pi }$  — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ , где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$  — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа ${\displaystyle \pi }$ была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году^[3] путём разложения тангенса в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \pi ^{2}}$ .
• ${\displaystyle \pi }$  — трансцендентное число, то есть оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Трансцендентность числа ${\displaystyle \pi }$ была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году^[4].
  • Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа ${\displaystyle \pi }$ , то доказательство трансцендентности ${\displaystyle \pi }$ положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
• В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа ${\displaystyle e^{\pi }}$ ^[5]. В 1996 году Юрий Нестеренко доказал, что для любого натурального ${\displaystyle n}$ числа ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы, откуда, в частности, следует трансцендентность чисел ${\displaystyle \pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }}$ и ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ ^[6][7].
• ${\displaystyle \pi }$ является элементом кольца периодов (а значит, вычислимым и арифметическим числом). Но неизвестно, принадлежит ли ${\displaystyle 1/\pi }$ к кольцу периодов.

Соотношения

Известно много формул для вычисления числа ${\displaystyle \pi }$ :

• Формула Виета для приближения числа π (англ.)русск.:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }$

Это первое известное явное представление ${\displaystyle \pi }$ с бесконечным числом операций. Применив тождество ${\displaystyle \sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi }$ рекурсивно и перейдя к пределу, получим

${\displaystyle \varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .}$

Остаётся подставить ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ и воспользоваться формулой косинуса двойного угла: ${\displaystyle \cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .}$

• Формула Валлиса:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

• Ряд Лейбница:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$

• Другие ряды:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}}$

• Кратные ряды:

${\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}$

• Пределы:

${\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}$

${\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to }$ здесь ${\displaystyle p_{k}}$  — простые числа

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}},}$ где ${\displaystyle n}$ равно числу корней в выражении.^[8]

• Тождество Эйлера:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;}$

• Другие связи между константами:

${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

${\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

• Т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)}}}dx={\sqrt {\pi }},}$ где ${\displaystyle Br(x)}$  — корень Бринга.

• Интегральный синус:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi }$

• Выражение через дилогарифм:^[9]

${\displaystyle \pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}}$

• Через несобственный интеграл

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

Геометрический период

То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам, древнейшие приближения относятся к третьему тысячелетию до н. э. В Древнем Вавилоне принимали ${\displaystyle \pi }$ равным трём. При этом оно определялось через формулу: площадь круга равна квадрату длины окружности, делённому на 12.^[11]

Самые ранние из известных приближений, отличных от числа 3, датируются ок. 1900 года до н. э.: это ²⁵/₈ (глиняная табличка из Суз периода Старовавилонского царства)^[12] и ²⁵⁶/₈₁ (египетский папирус Ахмеса периода Среднего царства); оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведийский текст «Шатапатха-брахмана» даёт ${\displaystyle \pi }$ как ³³⁹/₁₀₈ ≈ 3,139.

В священных книгах джайнизма, написанных в V—VI веках до н. э., обнаружено, что тогда в Индии ${\displaystyle \pi }$ принимали равным ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ ^[13]

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления ${\displaystyle \pi }$ . Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку ${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}}$ и предложил для приближенного вычисления ${\displaystyle \pi }$ верхнюю из найденных им границ: — 22/7 ≈ 3,142857142857143. Следующее приближение в европейской культуре связано с астрономом Клавдием Птолемеем (ок. 100 — ок. 170), который создал таблицу хорд с шагом в полградуса, что позволило ему получить для ${\displaystyle \pi }$ приближение ³⁷⁷/₁₂₀, равное приближённо вычисленной им половине периметра 720-угольника, вписанного в единичную окружность.^[14] Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в книге «Practica Geometriae» (около 1220 г.), видимо, принимая приближение Птолемея за нижнюю границу для ${\displaystyle \pi }$ , приводит свое приближение — ⁸⁶⁴/₂₇₅.^[15] Но оно оказывается хуже, чем у Птолемея, поскольку последний ошибся при определении длины хорды в полградуса в большую сторону, в результате чего приближение ³⁷⁷/₁₂₀ оказалось верхней границей для ${\displaystyle \pi }$ .

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Варахамихира в VI веке пользуется в «Панча-сиддхантике» приближением ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$ .

Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ. Liu Hui's π algorithm) для вычисления ${\displaystyle \pi }$ с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для ${\displaystyle \pi }$ по следующему принципу:

${\displaystyle \pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\approx 3,14159.}$

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления ${\displaystyle \pi }$ и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4.

В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что ${\displaystyle \pi }$ ≈ ³⁵⁵/₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < ${\displaystyle \pi }$ < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа ${\displaystyle \pi }$ в течение последующих 900 лет.

Классический период

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр ${\displaystyle \pi }$ . Дальнейшие крупные достижения в изучении ${\displaystyle \pi }$ связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить ${\displaystyle \pi }$ с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда.

Ряд Мадхавы — Лейбница

В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграмы нашёл первый из таких рядов:

${\displaystyle {\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\cdots }$

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к ${\displaystyle \pi }$ очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}$

Мадхава смог вычислить ${\displaystyle \pi }$ как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа ${\displaystyle \pi }$ , из которых 16 верные.

Лудольфово число

Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа ${\displaystyle \pi }$ с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·2²⁹. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа ${\displaystyle \pi }$ . Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число ${\displaystyle \pi }$ иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».

Лудольфово число — приближённое значение для числа ${\displaystyle \pi }$ с 32 верными десятичными знаками.

Формула Виета для приближения π

Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета для приближения числа π (англ.)русск.:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots }$ ,

найденная Франсуа Виетом в 1593 году.

Формула Валлиса

Другим известным результатом стала формула Валлиса:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots }$ ,

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.

Аналогичные произведения:

Произведение, доказывающее родственную связь с числом Эйлера e

${\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}$

Эра компьютерных вычислений

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр ${\displaystyle \pi }$ , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году (десяти знаков числа ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\pi =3{,}141592653\ldots )}$ , что вполне достаточно для всех практических целей)^[17]. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для ${\displaystyle \pi }$ , некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$ .

Братьями Чудновскими в 1987 году найдена похожая на неё:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$ ,

которая даёт примерно по 14 цифр на каждый член ряда. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении ${\displaystyle \pi }$ в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих ${\displaystyle \pi }$ на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин (англ. Eugene Salamin (mathematician)) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ. Gauss–Legendre algorithm), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков^[18]. Алгоритм состоит из установки начальных значений

${\displaystyle a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1}$

и итераций:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}}$ ,

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка ${\displaystyle \pi }$ даётся формулой

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был найден Джонатаном Боруэйном (англ. Jonathan Borwein) Питером Боруэйном (англ. Peter Borwein)^[19]. При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления ${\displaystyle \pi }$ вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду.

Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа, открытая в 1997 году Саймоном Плаффом (англ. Simon Plouffe) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована^[20]. Эта формула,

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),}$

примечательна тем, что она позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа ${\displaystyle \pi }$ без вычисления предыдущих^[20]. С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа ${\displaystyle \pi }$ , который оказался нулём^[21].

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул^[22]. Пусть q = e^π, тогда

${\displaystyle {\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}$

и другие вида

${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)}$ ,

где q = e^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

${\displaystyle p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)}$

для рационального p, у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В августе 2009 года учёные из японского университета Цукубы рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов^[23].

31 декабря 2009 года французский программист Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов^[24].

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо (яп.)русск. рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой^[25][26].

19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 10 триллионов цифр после запятой^[27][28].

Голландский математик Брауэр в первой половине XX века привёл в качестве примера бессмысленной задачи поиск в десятичном разложении ${\displaystyle \pi }$ последовательности ${\displaystyle 0123456789}$  — по его мнению, нужная для этого точность никогда не будет достигнута. В конце XX века эта последовательность была обнаружена, она начинается с 17 387 594 880-го знака после запятой^[29].