WikiSort.ru - Не сортированное

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где $e$ — иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как $\ln x$ , $\log _{e}x$ или иногда просто $\log x$ , если основание $e$ подразумевается^[1]. Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Это определение можно расширить и на комплексные числа.

Примеры:

\ln e=1

, потому что

e^{1}=e

;

\ln 1=0

, потому что

e^{0}=1

.

Натуральный логарифм может быть также определён геометрически для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой $y={\frac {1}{x}}$ на промежутке $[1;a]$ . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный».

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

e^{\ln a}=a\quad (a>0);

\ln e^{a}=a\quad (a>0).

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

\ln xy=\ln x+\ln y.

С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет изоморфизм группы положительных вещественных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению:

\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от $1$ , а не только для $e$ , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году^[2], хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.^[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,^[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

Соглашение об обозначениях

Обозначение «ln» всегда относится к натуральному логарифму. Обозначения «lg» и «log» зависят от контекста и традиций, описываемых ниже.

Русская и европейская система

Натуральный логарифм принято обозначать через «ln», логарифм по основанию 10 — через «lg», а прочие основания принято указывать явно в виде нижнего индекса при символе «log», например $\log _{a}x$ .

Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике логарифм по основанию 2 авторы обозначают просто как «log» или, реже, «lb», но эти соглашения не являются общепринятыми и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.

Скобки вокруг аргумента логарифмов обычно опускают, кроме случаев, когда аргумент является сложным выражением и это может привести к ошибочному чтению формулы. При возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма, например:

ln² ln³ (4x⁵)= [ln([ln(4x⁵)]³)]².

Т. е. в данном случае действуют обычные соглашения относительно записи элементарных функций.

Англо-американская система

Обозначение натурального логарифма, как $\ln x$ , где $x$ является аргументом, ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем в 1893 году^[5].

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log», либо «ln», а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log₁₀».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln» (или изредка «log_e»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log» у них означает «log₁₀».

В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log» обычно означает логарифм по основанию 2 «log₂», хотя иногда вместо этого пишется lg или lb.

Техника

В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.

В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается $\ln$ , тогда как $\log$ служит для обозначения логарифма по основанию 10.

Происхождение термина

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.^[6] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.^[7]^[8]^[9]

log_e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:^[10]

(\log _{a}x)'=\left({\frac {1}{\ln a}}\cdot \ln {x}\right)'={\frac {1}{\ln a}}(\ln {x})'={\frac {1}{x\ln a}}

Если основание $a$ равно $e$ , то производная равна просто ${\frac {1}{x}}$ , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николас Меркатор называли их логарифмус натуралис за несколько десятилетий до того, как Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление.^[11]

Альтернативные определения логарифма

Формально $\ln a$ может быть определён как площадь, заключённая под кривой графика $1/x$ на участке от $1$ до $a$ , т. е. как интеграл:

\ln a=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

\ln ab=\ln a+\ln b

.

Это можно продемонстрировать, допуская $t={\frac {x}{a}}$ следующим образом:

\ln ab=\int \limits _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \limits _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int \limits _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln a+\ln b

Число e может быть определено как единственное действительное число $a$ такое, что $\ln a=1$ .

Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. $\mathrm {ln}$ — это функция такая, что $e^{\ln x}=x$ . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных $x$ .

Свойства

$\ln 1=0$

$\ln(-1)=i\pi$ — комплексный логарифм

$\ln x<\ln y,$ если $0<x<y$

${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,\ {\mbox{если}}\ h>-1\;$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\ln 3=2-\gamma -2\ln 2-6{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt {Br(x)}}\ln Br(x)}{\displaystyle e^{3Br(x)}(5Br(x)^{4}+1)}}dx$ , где $Br(x)$ — корень Бринга^{[источник не указан 548 дней]}^{[значимость факта?]}.

Производная и разложение в ряд Тейлора

Многочлены Тейлора дают точную аппроксимацию для $\ln(1+x)$ только в области сходимости −1 < x ≤ 1.

Используя то, что производная натурального логарифма равна

(\ln x)'={\frac {1}{x}},

можно выполнить разложение $\ln(1+x)$ в ряд Тейлора около $x=0$ , называемое иногда рядом Меркатора:

\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\dots \quad

при

|x|\leqslant 1

,

кроме

\quad x=-1

.

Ограничение этого бесконечного ряда $i$ -м членом порождает многочлены Тейлора $i$ -го порядка, содержащие степени не выше $i$ -й. На рисунке справа приведены графики функции $\ln(1+x)$ и некоторых многочленов Тейлора около $x=0$ . Аппроксимации сходятся к функции только в области сходимости $-1<x\leqslant 1$ , а за её пределами быстро отклоняются от точной функции, причём многочлены высших степеней дают бо́льшую ошибку.

Подставляя x−1 вместо x, получаем альтернативную форму для ln(x), а именно:

\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}

\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\dots

{\rm {for}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {unless}}\quad x=0.

^[12]

С помощью преобразования Эйлера из ряда Тейлора можно получить следующее выражение, справедливое для любого |x| > 1:

\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\dots

Также заметим, что $x \over {x-1}$ — это её собственная инверсная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение $y \over {y-1}$ .

Натуральный логарифм в интегрировании

Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида $g(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}$ : первообразная функции $g(x)$ имеет вид $\ln |f(x)|$ . Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:

\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.

В другом виде:

\int {dx \over x}=\ln |x|+C

и

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

Ниже дан пример для $g(x)=\operatorname {tg} x$ :

\int \operatorname {tg} x\,dx=\int {\sin x \over \cos x}\,dx

,

\int \operatorname {tg} x\,dx=\int {-{d \over dx}\cos x \over {\cos x}}\,dx.

Пусть $f(x)=\cos x$ , тогда $f'(x)=-\sin x$ :

\int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln {\left|\cos x\right|}+C

,

\int \operatorname {tg} x\,dx=\ln {\left|\sec x\right|}+C

,

где $C$ — произвольная константа.

Натуральный логарифм можно проинтегрировать по частям:

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.

Численное значение

Методы вычисления

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

\ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\dots \right)\right)\right)\right)\right)\quad

при

|x|<1

.

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

$\ln x=\ln {\dfrac {1+y}{1-y}}$	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\dots \right)$
	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\dots \right)\right)\right)\right)\right)$

при условии, что

y={\dfrac {x-1}{x+1}}

и

x>0

.

Для $\ln x$ , где $x>1$ , чем ближе значение $x$ к $1$ , тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

$\ln(123{,}456)$	$=\ln(1{,}23456\times 10^{2})$
	$=\ln(1{,}23456)+\ln(10^{2})$
	$=\ln(1{,}23456)+2\times \ln(10)$
	$\approx \ln(1{,}23456)+2\times 2{,}3025851$

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:^[13]^[14]

\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2

где $M$ обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

s=x\,2^{m}>2^{p/2},

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

Трансцендентность

Из теоремы Линдемана-Вейерштрасса (1885) вытекает следующее следствие: если аргумент $x$ есть алгебраическое число, отличное от единицы, то значение $\ln x$ есть не только иррациональное, но и трансцендентное число^[15].

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

\log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}

\log \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}

Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e^x для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого e^x = 0, и оказывается, что e^2πi = 1 = e⁰. Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e^z = e^z+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i⁴ = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
z = Re(ln(x+iy))
z = Im(ln(x+iy))
Суперпозиция трёх предыдущих графиков

См. также

Примечания

↑ Mortimer, Robert G. Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5., Extract of page 9
↑ J J O'Connor and E F Robertson. The number e (неопр.). The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.
↑ Cajori, Florian. A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024.
↑ Flashman, Martin. Estimating Integrals using Polynomials (неопр.). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.
↑ Charles Smith, Irving Stringham, Elementary algebra for the use of schools and colleges 2nd ed, (The Macmillan Company, New York, 1904)
↑ Boyers, Carl. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
↑ Harris, John (1987). “Australian Aboriginal and Islander mathematics” (PDF). Australian Aboriginal Studies. 2: 29—37. Проверено 2011-06-30.
↑ Large, J.J. (1902). “The vigesimal system of enumeration”. Journal of the Polynesian Society. 11 (4): 260—261.
↑ Cajori first=Florian (1922). “Sexagesimal fractions among the Babylonians”. American Mathematical Monthly. 29 (1): 8—10. DOI:10.2307/2972914. JSTOR 2972914.
↑ Larson, Ron. Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8.
↑ Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest (неопр.). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.
↑ "Logarithmic Expansions" at Math2.org
↑ Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982). “Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)”. Journal of Information Processing. 5 (4): 247—250. Проверено 30 March 2011.
↑ Ahrendt, Timm (1999). “Fast computations of the exponential function”. Lecture notes in computer science. 1564: 302—312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.
↑ Рудио Ф. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). — Изд. 3-е. — М.-Л.: ОГИЗ, 1936. — С. 89. — 237 с. — (Классики естествознания).

Ссылки

"Разбираемся с натуральным логарифмом" — перевод статьи Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained (англ.)

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Mortimer, Robert G. Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5., Extract of page 9

[2] J J O'Connor and E F Robertson. The number e (неопр.). The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.

[3] Cajori, Florian. A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024.

[4] Flashman, Martin. Estimating Integrals using Polynomials (неопр.). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.

[5] Charles Smith, Irving Stringham, Elementary algebra for the use of schools and colleges 2nd ed, (The Macmillan Company, New York, 1904)

[6] Boyers, Carl. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.

[7] Harris, John (1987). “Australian Aboriginal and Islander mathematics” (PDF). Australian Aboriginal Studies. 2: 29—37. Проверено 2011-06-30.

[8] Large, J.J. (1902). “The vigesimal system of enumeration”. Journal of the Polynesian Society. 11 (4): 260—261.

[9] Cajori first=Florian (1922). “Sexagesimal fractions among the Babylonians”. American Mathematical Monthly. 29 (1): 8—10. DOI:10.2307/2972914. JSTOR 2972914.

[10] Larson, Ron. Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8.

[11] Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest (неопр.). Проверено 30 июня 2011. Архивировано 11 февраля 2012 года.

[12] "Logarithmic Expansions" at Math2.org

[13] Sasaki, T.; Kanada, Y. (1982). “Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)”. Journal of Information Processing. 5 (4): 247—250. Проверено 30 March 2011.

[14] Ahrendt, Timm (1999). “Fast computations of the exponential function”. Lecture notes in computer science. 1564: 302—312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.

[15] Рудио Ф. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). — Изд. 3-е. — М.-Л.: ОГИЗ, 1936. — С. 89. — 237 с. — (Классики естествознания).