Определение
Пусть
— пространство с мерой. Пусть
— измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций
сходится по мере к функции
, если
-
.
Обозначение:
.
В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство
с определёнными на нём случайными величинами
, то говорят, что
сходится по вероятности к
, если
-
.
Обозначение:
.
Свойства сходимости по мере
- Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций
сходится по мере к
, то у неё существует подпоследовательность
, сходящаяся к
-почти всюду.
- Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций
сходится по мере к
тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности
существует подпоследовательность, которая сходится к
почти всюду.
- Если последовательность функций
сходится по мере к
, и
, где
, то
, и
сходится к
в
.
- Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций
сходится
-почти всюду к
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность функций
сходится в
к
, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность случайных величин
сходится по вероятности к
, то она сходится к
и по распределению.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .