WikiSort.ru - Не сортированное

Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, попытайтесь изложить эту статью так, чтобы она была понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. Пояснение: Статья на такую важную тему должна быть понятна старшекласснику. До того, как говорить о σ-алгебрах, надо дать простое определение

Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности

Идея плотности вероятности заключается в том, чтобы отразить изменение вероятности на конкретном элементе множества (аналогично ускорению для скорости).

Если ${\displaystyle f(x)}$  — это функция плотности вероятности, а ${\displaystyle \mathbb {P} (x)}$  — функция вероятности для некоторого ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \mathbb {N} =\{x_{1}..x_{N}\}}$ , тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}f(x_{i})\,\Delta x=\sum _{i=1}^{N}\mathbb {P} (x_{i})=1}$

Для непрерывных случаев плотность распределения вероятности — это просто производная функции распределения.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {P} }$ является вероятностной мерой на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , то есть определено вероятностное пространство ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ обозначает борелевскую σ-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Пусть ${\displaystyle m}$ обозначает меру Лебега на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Определение 1. Вероятность ${\displaystyle \mathbb {P} }$ называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (${\displaystyle \mathbb {P} \ll m}$ ), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\;(m(B)=0)\Rightarrow (\mathbb {P} (B)=0).}$

Если вероятность ${\displaystyle \mathbb {P} }$ абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$ такая, что

${\displaystyle \mathbb {P} (B)=\int \limits _{B}f(x)\,dx}$ ,

где использовано общепринятое сокращение ${\displaystyle m(dx)\equiv dx}$ , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$  — произвольное измеримое пространство, а ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$  — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная ${\displaystyle f}$ , позволяющая выразить меру ${\displaystyle \nu }$ через меру ${\displaystyle \mu }$ в виде

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}fd\mu ,}$

то такую функцию называют плотностью меры ${\displaystyle \nu }$ по мере ${\displaystyle \mu }$ , или производной Радона-Никодима меры ${\displaystyle \nu }$ относительно меры ${\displaystyle \mu }$ , и обозначают

${\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}}$ .

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если ${\displaystyle f}$ является плотностью вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$ и ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ почти всюду относительно меры Лебега, то и функция ${\displaystyle g}$ также является плотностью вероятности ${\displaystyle \mathbb {P} }$ .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,dx=1}$ .

Обратно, если ${\displaystyle f(x)}$  — неотрицательная п.в. функция, такая что ${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,dx=1}$ , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера ${\displaystyle \mathbb {P} }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ такая, что ${\displaystyle f(x)}$ является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x)\,\mathbb {P} (dx)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x)\,f(x)\,dx}$ ,

где ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры ${\displaystyle \mathbb {P} }$ .

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ , и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ случайная величина (или случайный вектор). ${\displaystyle X}$ индуцирует вероятностную меру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\right)}$ , называемую распределением случайной величины ${\displaystyle X}$ .

Определение 3. Если распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность ${\displaystyle f_{X}={\frac {d\mathbb {P} ^{X}}{dx}}}$ называется плотностью случайной величины ${\displaystyle X}$ . Сама случайная величина ${\displaystyle X}$ называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx}$ .

Примеры абсолютно непрерывных распределений

См. также

• Распределение вероятностей
• Сингулярное распределение
• Функция вероятности

Литература

• Плотность вероятности // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.