Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant , фр. Constante d'Apéry ) — вещественное число , обозначаемое
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
(иногда
ζ
3
{\displaystyle \zeta _{3}}
), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана :
ζ
(
3
)
=
∑
k
=
1
∞
1
k
3
=
1
1
3
+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+
…
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots }
.
Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью [1] [2] :
ζ
(
3
)
=
{\displaystyle \displaystyle \zeta (3)=}
1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 …
Названа в честь Роже Апери , доказавшего в 1978 году , что
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
является иррациональным числом (теорема Апери [en] [3] [4] ). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра . Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом .
Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер [5] [6] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).
Приложения в математике и физике
Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем
N
{\displaystyle {\textstyle {N}}}
(и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к
1
/
ζ
(
3
)
{\displaystyle 1/\zeta (3)}
.
Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике . Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана , изображённой на рисунке, даёт
6
ζ
(
3
)
{\displaystyle 6\zeta (3)}
(здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы , а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы
k
{\displaystyle k}
). Другой пример — двумерная модель Дебая .
Представления в виде рядов
Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:
ζ
(
3
)
=
4
3
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
3
=
4
3
(
1
−
1
2
3
+
1
3
3
−
1
4
3
+
⋯
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)}
,
ζ
(
3
)
=
8
7
∑
k
=
0
∞
1
(
2
k
+
1
)
3
=
8
7
(
1
+
1
3
3
+
1
5
3
+
1
7
3
+
⋯
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)}
.
Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа
H
k
{\displaystyle {\textstyle {H_{k}}}}
:
ζ
(
3
)
=
1
2
∑
k
=
1
∞
H
k
k
2
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}}
,
а также двукратная сумма:
ζ
(
3
)
=
1
2
∑
j
=
1
∞
∑
k
=
1
∞
1
j
k
(
j
+
k
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}}
.
Для доказательства иррациональности
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
Роже Апери [3] пользовался представлением:
ζ
(
3
)
=
5
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
(
k
!
)
2
k
3
(
2
k
)
!
=
5
2
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
k
3
(
2
k
k
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}}
,
где
(
2
k
k
)
=
(
2
k
)
!
k
!
2
{\displaystyle {\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}}
— биномиальный коэффициент .
В 1773 году Леонард Эйлер [7] привёл представление в виде ряда[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):
ζ
(
3
)
=
1
7
π
2
[
1
−
4
∑
k
=
1
∞
ζ
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
]
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}
,
в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как
ζ
(
2
k
)
=
(
−
1
)
k
+
1
(
2
π
)
2
k
B
2
k
/
(
2
(
2
k
)
!
)
{\displaystyle {\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}}
, где
B
2
k
{\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}
— числа Бернулли .
Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя[9] :
ζ
(
3
)
=
7
180
π
3
−
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
−
1
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}
Саймон Плафф [en] получил ряды другого типа[10]
ζ
(
3
)
=
14
∑
k
=
1
∞
1
k
3
sinh
(
π
k
)
−
11
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
−
1
)
−
7
2
∑
k
=
1
∞
1
k
3
(
e
2
π
k
+
1
)
,
{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,}
а также аналогичные представления для других постоянных
ζ
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (2n+1)}
.
Были также получены другие представления в виде рядов, включая:
ζ
(
3
)
=
1
4
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
(
56
k
2
−
32
k
+
5
)
(
k
−
1
)
!
3
(
2
k
−
1
)
2
(
3
k
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}}
ζ
(
3
)
=
8
7
−
8
7
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
2
−
5
+
12
k
k
(
−
3
+
9
k
+
148
k
2
−
432
k
3
−
2688
k
4
+
7168
k
5
)
k
!
3
(
−
1
+
2
k
)
!
6
(
−
1
+
2
k
)
3
(
3
k
)
!
(
1
+
4
k
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}
ζ
(
3
)
=
1
64
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
205
k
2
+
250
k
+
77
)
⋅
k
!
10
(
2
k
+
1
)
!
5
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}
ζ
(
3
)
=
1
24
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
(
2
k
+
1
)
!
(
2
k
)
!
k
!
)
3
(
126392
k
5
+
412708
k
4
+
531578
k
3
+
336367
k
2
+
104000
k
+
12463
)
(
3
k
+
2
)
!
⋅
(
4
k
+
3
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}}
Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.
В 1998 году получено представление в виде ряда[11] , которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.
Представления в виде интегралов
Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
ζ
(
3
)
=
1
2
∫
0
∞
x
2
e
x
−
1
d
x
=
2
3
∫
0
∞
x
2
e
x
+
1
d
x
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}
или
ζ
(
3
)
=
∫
0
1
ln
(
x
)
ln
(
1
−
x
)
x
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx}
следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана [12] , до достаточно сложных, таких, как
ζ
(
3
)
=
π
∫
0
∞
cos
(
2
a
r
c
t
g
x
)
(
x
2
+
1
)
[
c
h
(
1
2
π
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }
(Иоган Йенсен [13] ),
ζ
(
3
)
=
−
1
2
∫
0
1
∫
0
1
ln
(
x
y
)
1
−
x
y
d
x
d
y
{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad }
(Фритс Бёкерс [en] [14] ),
ζ
(
3
)
=
8
π
2
7
∫
0
1
x
(
x
4
−
4
x
2
+
1
)
ln
ln
1
x
(
1
+
x
2
)
4
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad }
(Ярослав Благушин[15] ).
Также связь постоянной Апери с производными гамма-функции (см. упр. 30.10.1[16] ):
ζ
(
3
)
=
−
1
2
Γ
‴
(
1
)
+
3
2
Γ
′
(
1
)
Γ
″
(
1
)
−
[
Γ
′
(
1
)
]
3
=
−
1
2
ψ
(
2
)
(
1
)
{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\frac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-[\Gamma '(1)]^{3}=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)\qquad }
позволяет вывести большое количество интегральных представлений через известные интегральные формулы для гамма-функции .
Вычисление десятичных цифр
Число известных значащих цифр постоянной Апери
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[17] .
Число известных значащих цифр постоянной Апери
ζ
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
Дата Количество значащих цифр Авторы вычисления
1735 16 Леонард Эйлер [5] [6]
1887 32 Томас Иоаннес Стилтьес
1996 &&&&&&&&&0520000.&&&&&0 520 000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997 &&&&&&&&01000000.&&&&&0 1 000 000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май &&&&&&&010536006.&&&&&0 10 536 006 Patrick Demichel
1998, февраль &&&&&&&014000074.&&&&&0 14 000 074 Sebastian Wedeniwski
1998, март &&&&&&&032000213.&&&&&0 32 000 213 Sebastian Wedeniwski
1998, июль &&&&&&&064000091.&&&&&0 64 000 091 Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь &&&&&&0128000026.&&&&&0 128 000 026 Sebastian Wedeniwski [18]
2001, сентябрь &&&&&&0200001000.&&&&&0 200 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль &&&&&&0600001000.&&&&&0 600 001 000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль &&&&&01000000000.&&&&&0 1 000 000 000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель &&&&010000000000.&&&&&0 10 000 000 000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [19]
2009, январь &&&&015510000000.&&&&&0 15 510 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan [20]
2009, март &&&&031026000000.&&&&&0 31 026 000 000 Alexander J. Yee & Raymond Chan [20]
2010, сентябрь &&&0100000001000.&&&&&0 100 000 001 000 Alexander J. Yee [21]
2013, сентябрь &&&0200000001000.&&&&&0 200 000 001 000 Robert J. Setti [21]
2015, август &&&0250000000000.&&&&&0 250 000 000 000 Ron Watkins [21]
2015, декабрь &&&0400000000000.&&&&&0 400 000 000 000 Dipanjan Nag [21]
2017, август &&&0500000000000.&&&&&0 500 000 000 000 Ron Watkins [21]
Примечания
↑ Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places , < http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ последовательность A002117 в OEIS 1 2 Roger Apéry (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque Т. 61: 11–13 ↑ A. van der Poorten (1979), "A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report ", The Mathematical Intelligencer Т. 1: 195–203, doi :10.1007/BF03028234 , < http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf > . Проверено 8 февраля 2011. 1 2 Leonhard Euler (1741), "Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735) ", Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 8: 173–204, < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf > . Проверено 9 февраля 2011. 1 2 Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "Finding the sum of any series from a given general term ", arXiv:0806.4096 , < http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf > . Проверено 9 февраля 2011. ↑ Leonhard Euler (1773), "Exercitationes analyticae ", Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 17: 173–204, < http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ H. M. Srivastava (2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions ", Taiwanese Journal of Mathematics Т. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487 , < http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3 , < https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3 > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II , < http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ D. J. Broadhurst (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) , arXiv (math.CA/9803067), < http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067 > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969 ↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver . L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895. ↑ F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3) . Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979. ↑ Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. PDF ↑ М. А. Евграфов и др. Сборник задач по теории аналитических функций . Наука, Москва, 1969 ↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation , numbers.computation.free.fr, < http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html > . Проверено 8 февраля 2011. ↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places , Project Gutenberg ↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3) , < http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html > . Проверено 8 февраля 2011. 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations , < http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html > . Проверено 8 февраля 2011. 1 2 3 4 5 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) — Apery's Constant , < http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/ > . Проверено 24 ноября 2018. ↑ T. Rivoal (2000), "La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Т. 331: 267–270 ↑ В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН . — 2001. — Т. 56 , вып. 4(340) . — С. 149–150 .