Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой z) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их квазипериодическими[en]. В абстрактной теории это получается из условия линейного расслоения[en]понижения[en].
Тета-функция Якоби
Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения.
Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных z и , где z может быть любым комплексным числом, а ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой
,
где и . Функция является формой Якоби[en]. Если фиксировать , функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от z с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству
Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода и удовлетворяет функциональному уравнению
,
где a и b целые числа.
Вспомогательные функции
Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:
Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами
Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах нома[en], а не . В обозначениях Якоби θ-функции записываются в виде:
Если мы положим в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых. В частности, тождество Якоби
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями и . Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к имеет тот же эффект, что и добавление к z (mod 2). Во втором случае положим
Тогда
Тета-функции в терминах нома
Вместо выражения тета-функций в терминах z и мы можем выразить их в терминах аргумента w и нома[en]q, где , а . В этом случае функции превращаются в
Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле p-адических чисел.
Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных z. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций
Целочисленные представления
Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены s на 1 − s. Cоответствующий интеграл для z ≠ 0 дан в статье о дзета-функции Гурвица.
Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку
,
где вторая производная берётся по z, а константа c определена так, что ряд Лорана функции ℘(z) в точке z = 0 имеет нулевой постоянный член.
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиями[5]. Принимая вещественным, а с вещественным и положительным t, мы можем записать
Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в с тета-функцией.
Связь с группой Гейзенберга
Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении[en] группы Гейзенберга.
Обобщения
Если F является квадратичной формой от n переменных, то тета-функция, связанная с F, равна
с суммой по решётке целых чисел ℤn. Эта тета-функция является модулярной формой с весом (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье
Тогда, если дано , тета-функция Римана определяется как
Здесь является n-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с и , где является верхней полуплоскостью[en].
Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах .
Функциональное уравнение функции
которое выполняется для всех векторов и для всех }} и .
Ахиезер Н. И.Элементы теории эллиптических функций.— Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970.— (Физико-математическая библиотека инженера).— ISBN 0-8218-4532-2.
Hershel M. Farkas, Irwin Kra.ch. 6//Riemann Surfaces.— New York: Springer-Verlag, 1980.— ISBN 0-387-90465-4.. (обсуждение тета-функции Римана)
Hardy G. H., Wright E. M.An Introduction to the Theory of Numbers.— 4th.— Oxford: Clarendon Press, 1959.
Whittaker E. T., Watson G. N.ch. 21//A Course in Modern Analysis.— 4th.— Cambridge: Cambridge University Press, 1927.(история θ-функций Якоби)
Jinhee Yi.Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications// Journal of Mathematical Analysis and Applications.— 2004.— Т. 292.— С. 381–400.— DOI:10.1016/j.jmaa.2003.12.009.
István Mező.A q-Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function// Journal of Number Theory.— 2012.— Т. 133, вып. 2.— С. 692–704.— DOI:10.1016/j.jnt.2012.08.025.
István Mező.Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's q-trigonometric functions// Proceedings of the American Mathematical Society.— 2013.— Т. 141, вып. 7.— С. 2401–2410.— DOI:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5.
Литература для дальнейшего чтения
Тета-функции, Якоби эллиптические функции//Математическая энциклопедия/Виноградов И. В..— Советская энциклопедия, 1985.— Т.5.— (Энциклопедии, словари, справочники).
Прасолов В. В., Соловьёв Ю. П.Алгебраические уравнения и тета-функции.— М.: МК НМУ, 1994.
Hershel M. Farkas.Theta functions in complex analysis and number theory//Surveys in Number Theory/Krishnaswami Alladi.— Springer-Verlag, 2008.— Т.17.— С.57–87.— (Developments in Mathematics).— ISBN 978-0-387-78509-7.
Bruno Schoeneberg.IX. Theta series//Elliptic modular functions.— Springer-Verlag, 1974.— Т.203.— С.203–226.— (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften).— ISBN 3-540-06382-X.
Тюрин А. Н.Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции.— М., 2003.
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии