WikiSort.ru - Не сортированное

Ссылки на статьи о тригонометрии

Тригонометрия

Обзор тригонометрии (англ.) История Использование (англ.) Функции (Обратные) Обобщённая тригонометрия (англ.)

Справочник

Тождества Точные константы (англ.) Таблицы Единичная окружность

Законы и теоремы

Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников

Математический анализ

Тригонометрическая подстановка (англ.) Интегралы (обратные функции) Производные (англ.)

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	${\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1}$	${\displaystyle \forall \alpha }$
1.2	${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }$
1.3	${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha }$	${\displaystyle \alpha \neq \pi n,n\in \mathbb {Z} }$
1.4	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1}$	${\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},n\in \mathbb {Z} }$

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ и ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$
2.2	${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$
2.3	${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}}$
2.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}}$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Вывод формул для ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}$

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что ${\displaystyle AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;}$

По построению: ${\displaystyle \angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;}$

Тогда: ${\displaystyle \angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;}$

Из треугольника ABD:

${\displaystyle BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;}$

Из треугольника BOD:

${\displaystyle OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};}$

${\displaystyle OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$

Так как O лежит на отрезке AD:

${\displaystyle AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}}$

Тогда сразу:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }$

Из треугольника AOC:

${\displaystyle OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}}$

Следовательно:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=}$

${\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }$

Что и требовалось доказать^{[источник не указан 1060 дней]}.

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:

№	Формулы двойного угла
3.1	${\displaystyle \operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$
3.2	${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }}$ ${\displaystyle \operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }}$
3.3	${\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$
3.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}}$

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половиного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}}$
3.6	${\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}}$
3.7	${\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }}$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }$
4.2	${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }$
4.3	${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$
4.4	${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}$

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус		№	Косинус
5.1	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$		5.5	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$
5.2	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$		5.6	${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$
5.3	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$		5.7	${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$
5.4	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$		5.8	${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$

№	Произведение
5.9	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$
5.10	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$
5.11	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$
5.12	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$

Формулы преобразования произведения функций

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$
6.2	${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}}$
6.3	${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$

Формулы преобразования суммы функций

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$
7.2	${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$
7.3	${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$
7.4	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$
7.5	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :${\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =360^{\circ }}$  :

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\ \sin {\frac {\beta }{2}}\ \sin {\frac {\gamma }{2}}}$ (7.6)

Решение простых тригонометрических уравнений

• ${\displaystyle \sin x=a.}$

Если ${\displaystyle |a|>1}$  — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$  — решением является число вида ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \cos x=a.}$

Если ${\displaystyle |a|>1}$  — вещественных решений нет.

Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$  — решением является число вида ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=a.}$

Решением является число вида ${\displaystyle x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} \,x=a.}$

Решением является число вида ${\displaystyle x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z} .}$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}$ ).

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$	${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}}$
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {cosec} \,\alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}}$

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

${\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi )}$

где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не равны нулю одновременно, ${\displaystyle \varphi }$ — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.}$

Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что ${\displaystyle \mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}}$ , однако нельзя всегда считать, что ${\displaystyle \varphi \,=\,\mathrm {arctg} \,{\tfrac {b}{a}}}$ . Нужно учитывать знаки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ для определения, к какой четверти принадлежит угол ${\displaystyle \varphi }$ .

Полезные тождества

В приведённых ниже формулах числа ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ целые.

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-x\right).}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+x\right).}$

${\displaystyle 1\pm \sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).}$

${\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}$

${\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).}$

${\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {ctg} ^{2}x}}.}$

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}x}}.}$

${\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$

${\displaystyle \cos ^{2}x-\cos ^{2}y=-\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$

${\displaystyle \cos ^{2}x-\sin ^{2}y=\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}$

${\displaystyle \sin 2x+\sin 2y=2\cos(x-y)\cdot \sin(x+y).}$

${\displaystyle \sin 2x-\sin 2y=2\sin(x-y)\cdot \cos(x+y).}$

${\displaystyle \cos 2x+\cos 2y=2\cos(x-y)\cdot \cos(x+y).}$

${\displaystyle \cos 2x-\cos 2y=-2\sin(x-y)\cdot \sin(x+y).}$

${\displaystyle \sin 2x+\cos 2y=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}+x+y\right).}$

${\displaystyle \sin 2x-\cos 2y=-2\sin \left({\frac {\pi }{4}}-x-y\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{4}}-x+y\right).}$

${\displaystyle \sin ^{3}x+\cos ^{3}x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x).}$

${\displaystyle \sin ^{4}x+\cos ^{4}x=1-2\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}(2x)={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}\cos(4x).}$

${\displaystyle \sin ^{6}x+\cos ^{6}x=1-3\sin ^{2}x\,\cos ^{2}x=1-3\sin ^{2}x+3\sin ^{4}x=1-{\frac {3}{4}}\sin ^{2}(2x)={\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}\cos(4x).}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\cos x}}.}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} x={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)}{\sin x}}.}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin 2x}{\cos 2x+1}}={\frac {1-\cos 2x}{\sin 2x}}.}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}x-\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4\cos 2x}{\sin ^{2}2x}}.}$

${\displaystyle \sin 3x=4\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 3x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-x\right).}$

${\displaystyle \sin 5x=16\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 5x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-x\right).}$

${\displaystyle \sin 7x=64\sin x\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \sin \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 7x=\operatorname {tg} x\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+x\right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-x\right).}$

${\displaystyle \sin nx=2^{n-1}\prod \limits _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {\pi k}{n}}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\big [}(2n+1)x{\big ]}=(-1)^{n}\prod \limits _{k=0}^{2n}\operatorname {tg} \left(x+{\frac {\pi k}{2n+1}}\right).}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin(kx)=\sin \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos(kx)=\cos \left({\frac {n+1}{2}}x\right){\frac {\sin \left({\frac {nx}{2}}\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\sin {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin ^{2}nx}{\sin x}}.}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\big [}(2k-1)x{\big ]}={\frac {\sin 2nx}{2\sin x}}.}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {2\pi k}{2n+1}}=-{\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2(n+1)}}={\frac {\sqrt {n+1}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\sin {\frac {k\pi }{2n+1}}={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{2n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {(-1)^{n}-1}{2^{2n-1}}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}x\right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}x\right)}{2^{n+1}\sin x}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2^{n+1}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{2^{n}\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin 2x}{2x}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }\cos {\frac {x}{2^{k}}}={\frac {\sin x}{x}}.}$

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {1}{8}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{7}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{7}}=-{\frac {1}{8}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {2\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {5\pi }{9}}\cdot \cos {\frac {7\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла ${\displaystyle \alpha }$ заданного в градусах и радианах:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {360^{\circ }\cdot \alpha }{\pi }}\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(180^{\circ }k-90^{\circ }+\alpha )(180^{\circ }k-90^{\circ }-\alpha )}}=2\alpha \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k-1/2)^{2}\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}.}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} {\frac {1}{2}}+\operatorname {arctg} {\frac {1}{3}}={\frac {\pi }{4}}.}$

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x}$ выполнено следующее равенство:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

где ${\displaystyle e}$  — основание натурального логарифма,

${\displaystyle i}$  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции ${\displaystyle \sin x}$ и ${\displaystyle \cos x}$ следующим образом :

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}$

${\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}$

См. также

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции