WikiSort.ru - Не сортированное

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения^[1]. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

${\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.)^[1]; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$ ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме ${\displaystyle a,}$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражение ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ .

Условие	${\displaystyle D>0}$	${\displaystyle D=0}$	${\displaystyle D<0}$
Число действительных корней	корней два	корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях — его, к тому же, называют корнем кратности 2)	делают вывод о том, что корней на множестве действительных чисел нет.
Формула	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)}$	${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$	формулу комплексных корней смотрите ниже в соотв. разделе

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}$ , то есть при чётном ${\displaystyle b}$ , где

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}$

вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения^[1].

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	D>0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${\displaystyle {\frac {D}{4}}=k^{2}-ac}$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${\displaystyle {\frac {D}{4}}=k^{2}-c}$ .		${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.}$	${\displaystyle x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}}$
		D=0	${\displaystyle x={\frac {-k}{a}}}$	${\displaystyle x=-k}$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.

b=0, c=0	b=0; c≠0	b≠0; c=0
${\displaystyle ax^{2}=0;}$ ${\displaystyle x^{2}=0;}$ ${\displaystyle x=0.}$ (процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)	${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ ${\displaystyle ax^{2}=-c;}$ ${\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}};}$ ${\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}.}$ Если ${\displaystyle -{\frac {c}{a}}>0}$ , то уравнение имеет два действительных корня, a если ${\displaystyle -{\frac {c}{a}}<0;}$ , то уравнение не имеет действительных корней.	${\displaystyle ax^{2}+bx=0;}$ ${\displaystyle x(ax+b)=0;}$ ${\displaystyle x=0}$ или ${\displaystyle ax+b=0;}$ ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}$ Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ${\displaystyle a+c=b}$ , то его корнями являются ${\displaystyle -1}$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (${\displaystyle -{\frac {c}{a}}}$ ).

Доказательство

Способ 1. Сначала выясним, действительно ли такое уравнение имеет два корня (в том числе, два совпадающих):

${\displaystyle D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2}=(a-c)^{2}}$ .

Да, это так, ведь при любых действительных значениях коэффициентов ${\displaystyle (a-c)^{2}\geqslant 0}$ , а значит и дискриминант неотрицателен. Таким образом, если ${\displaystyle a\not =c}$ , то уравнение имеет два корня, если же ${\displaystyle a=c}$ , то оно имеет только один корень. Найдём эти корни:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}}}}{2a}}={\frac {-a-c\pm |a-c|}{2a}}={\frac {-a-c\pm a\mp c}{2a}}}$ .

${\displaystyle x_{1}={\frac {-a-c-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-a-c+a-c}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.}$

В частности, если ${\displaystyle a=c}$ , то корень будет один: ${\displaystyle -1.}$

Способ 2.

Используем геометрическую модель корней квадратного уравнения: их мы будем рассматривать как точки пересечения параболы ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ с осью абсцисс. Всякая парабола вне зависимости от задающего её выражения является фигурой, симметричной относительно прямой ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ . Это означает, что отрезок всякой перпендикулярной к ней прямой, отсекаемый на ней параболой, делится осью симметрии пополам. Сказанное, в частности, верно и для оси абсцисс. Таким образом, для всякой параболы справедливо одно из следующих равенств: ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}}$ (если ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ ) или ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}}$ (если верно неравенство противоположного смысла). Используя тождество ${\displaystyle \rho (a;b)=|a-b|}$ , выражающее геометрический смысл модуля, а также принимая, что ${\displaystyle x_{1}=-1}$ (это можно доказать, подставив равенство в квадратный трёхчлен: ${\displaystyle a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=(a+c)-b=0}$ , поэтому -1 - корень такого уравнения) , приходим к следующему равенству: ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.}$ Если учитывать, что разность в том случае, когда мы прибавляем модуль, всегда положительна, а в том, когда отнимаем - отрицательна, что говорит о тождественности этих случаев, и, к тому же, помня о равенстве ${\displaystyle b-a=c}$ , раскрываем модуль: ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {b-a}{a}}=-{\frac {c}{a}}}$ . Во втором случае,совершив аналогичные преобразования, придём к тому же результату, ч.т.д.

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида ${\displaystyle ax^{2}+bx+c(a\not =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}$ , то можно найти корни уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — ими будут ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {n}{l}}}$ , действительно, ведь ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow kx+m=0\cup lx+n=0}$ , а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ , будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p;\\x_{1}x_{2}=q;\end{cases}}}$

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

1) умножаем обе части на выражение:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0|\cdot a}$

${\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0}$

2) вводим новую переменную y=ax:

${\displaystyle y^{2}+by+ac}$ .

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений ${\displaystyle y_{1}=ax_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}=ax_{2}}$ .

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=g(x)}$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат Oxy окружность с центром в точке ${\displaystyle S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {a+c}{2a}})}$ , пересекающую ось y в точке C(0;1).
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет.

Доказательство

Рассматриваемый способ предполагает построение окружности, пересекающей ось ординат в точках (точке), абсциссы которых являются корнями (или корнем) решаемого уравнения. Как нужно строить такую окружность? Предположим, что она уже построена. Окружность определяется однозначно заданием трёх своих точек. Пусть в случае, если корня два, это будут точки ${\displaystyle A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)}$ , где ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ , естественно, действительные корни квадратного уравнения (подчёркиваем: если они имеются). Найдём координаты центра такой окружности. Для этого докажем, что эта окружность проходит через точку ${\displaystyle D(0;{\frac {c}{a}})}$ . Действительно, согласно теореме о секущих, в принятых обозначениях выполняется равенство ${\displaystyle OA\cdot OB=OC\cdot OD}$ (см рисунок). Преобразовывая это выражение, получаем величину отрезка OD, которой и определяется искомая ордината точки D: ${\displaystyle OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}}$ (в последнем преобразовании использована теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе)). Если же корень один, то есть ось абсцисс будет касательной к такой окружности, и окружность пересекает ось y в точке с ординатой 1, то она обязательно пересечёт её и в точке с указанной выше ординатой (в частности, если 1=c/a, это могут быть совпадающие точки), что доказывается аналогично с использованием уже теоремы о секущей и касательной, являющаяся частным случаем теоремы о секущих. В первом случае (${\displaystyle {\frac {c}{a}}\not =1}$ ), определяющими будут точка касания, точка оси y с ординатой 1, и её же точка с ординатой ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ . Если c/a и 1 - совпадающие точки, а корня два, определяющими будут эта точка и точки пересечения с осью абсцисс. В случае, когда (1=c/a) и корень один, указанных сведений достаточно для доказательства, так как такая окружность может быть только одна - её центром будет вершина квадрата, образуемого отрезками касательных и перпендикулярами, а радиус - стороне этого квадрата, составляющей 1. Пускай S - центр окружности, имеющей с осью абсцисс две общие точки. Найдём его координаты: для этого опустим от этой точки перпендикуляры к координатным осям. Концы этих перпендикуляров будут серединами отрезков AB и CD - ведь треугольники ASB и CSD равнобедренные, так как в них AS=BS=CS=DS как радиусы одной окружности, следовательно, высоты в них, проведённые к основаниям, также являются и медианами. Найдём координаты середин названных отрезков. Так как парабола симметрична относительно прямой ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$ , то точка этой прямой с такой же абсциссой будет являться серединой отрезка AB. Следовательно, абсцисса точки S равна этому числу. В случае же, если уравнение имеет один корень, то ось x является касательной по отношению к окружности,поэтому, согласно её свойству, её радиус перпендикулярен оси, следовательно, и в этом случае указанное число - абсцисса центра. Её ординату найдём так: ${\displaystyle {\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac {c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}}$ . В третьем из возможных случаев, когда c\a=1 (и, значит, a=c), то ${\displaystyle {\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}}$ .

Итак, нами найдены необходимые для построения данные. Действительно, если мы построим окружность с центром в точке ${\displaystyle S(-{\frac {b}{2a}};{\frac {c+a}{2a}})}$ , проходящую через точку ${\displaystyle C(0;1)}$ , то она, в случаях, когда уравнение имеет действительные корни, пересечёт ось x в точках, абсциссы которых есть эти корни. Причём, если длина радиуса больше длины перпендикуляра к оси Ox, то уравнение имеет два корня (предположив обратное, мы бы получили противоречие с доказанным выше), если длины равны, то один (по той же причине), если же длина радиуса меньше длины перпендикуляра, то окружность не имеет общих точек с осью x, следовательно, и действительных корней у уравнения нет (доказывается тоже от противного: если корни есть, то окружность, проходящая через A, B, C совпадает с данной, и поэтому пересекает ось, однако она не должна пересекать ось абсцисс по условию, значит, предположение неверно).

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами ${\displaystyle a,~b,~c}$ имеет ровно два комплексных корня, о чём гласит основная теорема алгебры. При этом, в зависимости от значения дискриминанта ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$ , как один, так и оба корня могут не иметь мнимой части и быть вещественными:

• при ${\displaystyle D>0}$ вещественных корней два, и они вычисляются по формуле

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}};}$

• при ${\displaystyle D=0}$ корень один (о чём так же можно говорить как о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  ${\displaystyle x={\frac {-b\pm 0}{2a}}={\frac {-b}{2a}};}$

• при ${\displaystyle D<0}$ вещественных (действительных) корней нет, однако существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать, выразив корень из отрицательного числа в виде произведения корня с мнимой единицей:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}.}$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два простых корня).

Формулировка

Сумма корней приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ равна коэффициенту ${\displaystyle p}$ со знаком «минус», а произведение корней равно свободному члену ${\displaystyle q}$

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.}$

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ :

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad x_{1}x_{2}=c/a.}$

Используя эту теорему, можно решать некоторые квадратные уравнения устно.

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}};\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=}$

${\displaystyle =a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$ .

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)}$ . Тогда, переписав это разложение, получим:

${\displaystyle (kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))}$ .

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {l}{n}}}$ . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1, он имеет корни в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Алгебраические

Уравнение вида ${\displaystyle a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0}$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается заменой ${\displaystyle f(x)=t,t\in E(f)}$ c последующим решением квадратного уравнения ${\displaystyle a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0}$ .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

${\displaystyle f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$

Если ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ , то уравнение принимает вид:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$

Такое уравнение называется биквадратным^[3][1].

С помощью замены

${\displaystyle y=x+{\dfrac {k}{x}}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,}$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение^[1].

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

${\displaystyle y''+py'+qy=0}$

подстановкой ${\displaystyle y=e^{kx}}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

${\displaystyle k^{2}+pk+q=0}$

Если решения этого уравнения ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

${\displaystyle y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}}$ , где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней ${\displaystyle k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i}$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера:

${\displaystyle y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ae^{k_{r}x}\cos(k_{i}x+\varphi )}$

Если решения характеристического уравнения совпадают ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=k}$ , общее решение записывается в виде:

${\displaystyle y=Axe^{kx}+Be^{kx}}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока.