WikiSort.ru - Не сортированное

Параллельные прямые (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их не продолжали в обе стороны.

В евклидовой геометрии

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются^[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными^[2][3]. Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности^[4].

Параллельность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ обычно обозначается:

${\displaystyle m\parallel n}$

Свойства

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • Соответственные углы равны (Рис.1).
  • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
  • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}}$ .	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1}}$ .	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, ${\displaystyle \alpha +\delta _{1}=180^{\circ }}$ .

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых

В геометрии Лобачевского

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку ${\displaystyle C}$ вне данной прямой ${\displaystyle AB}$ проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих ${\displaystyle AB}$ . Прямая ${\displaystyle CE}$ называется равнобежной прямой ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$ , если:

1. точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AC}$ ;
2. прямая ${\displaystyle CE}$ не пересекает прямую ${\displaystyle AB}$ , но всякий луч, проходящий внутри угла ${\displaystyle ACE}$ , пересекает луч ${\displaystyle AB}$ .

Аналогично определяется прямая, равнобежная ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$ .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися^[5].

См. также

• Параллельность плоскостей
• Антипараллельные прямые
• Перпендикулярность
• Ортогональность

Примечания

В Викисловаре есть статья «параллельность»

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.