WikiSort.ru - Не сортированное

Изучение принципа Лагранжа

В 1816 г. Родриг опубликовал заметку «О способе применения принципа наименьшего действия для вывода уравнений движения, отнесённых к независимым переменным»^[16], посвящённую исследованию принципа наименьшего действия в формулировке Лагранжа. В ней Родриг впервые явно оговорил^[17] асинхронный характер варьирования переменных в принципе Лагранжа. Проблему существования условного экстремума интеграла действия в форме Лагранжа Родриг свёл к задаче нахождения безусловного экстремума функционала, в котором подынтегральная функция записывается как сумма удвоенной кинетической энергии ${\displaystyle T}$   механической системы и умноженного на неопределённый множитель Лагранжа ${\displaystyle \lambda }$   выражения  ${\displaystyle T+\Pi -h}$   (где ${\displaystyle \Pi }$ — потенциальная энергия, ${\displaystyle h}$ — постоянная в интеграле энергии). Такое исследование Родриг провёл для случая системы свободных материальных точек и получил при этом уравнения движения системы; позднее Ф. А. Слудский распространил данное исследование на случай системы со стационарными связями^[18].

Формула поворота Родрига

В 1840 г. Родриг в статье «О геометрических законах, управляющих перемещениями неизменяемой системы в пространстве, и об изменении координат, обусловленном этими перемещениями, рассматриваемыми независимо от причин, которые могут их вызывать»^[19] доказал формулу поворота Родрига. Эта формула, которая приводится здесь в современной векторной записи, описывает изменение положения точки абсолютно твёрдого тела после его поворота на конечный угол ${\displaystyle \varphi }$ вокруг неподвижной оси с единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {e} }$  .  Если ${\displaystyle O}$ — взятый на оси поворота полюс,  ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overline {OA}}}$   и  ${\displaystyle \mathbf {r\,'} ={\overline {OA\,'}}}$ — радиус-векторы начального и конечного положений точки, то формула поворота Родрига записывается^[20] в виде:

${\displaystyle (*)\qquad \mathbf {r\,'} \;=\;\,\mathbf {r} \,+\,{\frac {2}{1+\theta ^{\,2}}}\,{\bigl [}\,{\boldsymbol {\theta }},\,\mathbf {r} +[\,{\boldsymbol {\theta }},\,\mathbf {r} \,]{\bigr ]}\,\,,}$

где квадратные скобки обозначают операцию векторного умножения, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$ — вектор конечного поворота, определяемый формулой

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}\;=\;\mathbf {e} \,\theta \,\;\equiv \;\mathbf {e} \,\,{\rm {tg}}\,{\frac {\varphi }{2}}\,\,.}$

Формула ${\displaystyle (*)}$   не может быть непосредственно использована для численных расчётов в случае, когда тело совершает^[21] полуоборот). Если при движении твёрдого тела подобные повороты не исключаются, применяют^[22] другой — менее компактный — вариант формулы поворота Родрига, в котором вместо вектора конечного поворота ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$   фигурируют непосредственно угол ${\displaystyle \varphi }$   и единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {e} }$  :

${\displaystyle (**)\qquad \mathbf {r\,'} \;=\;\,\mathbf {r} \,+\,(1-\cos {\varphi })\,{\bigl [}\,\mathbf {e} ,\,[\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {r} \,]{\bigr ]}\,+\,\sin {\varphi }\,\,[\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {r} \,]\,\,.}$

Параметры Родрига — Гамильтона

В той же работе 1840 года Родриг применил для описания изменения ориентации твёрдого тела набор из четырёх скалярных параметров, определяемых^[23][24] следующим образом:

${\displaystyle \lambda _{0}\;=\;e_{0}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{1}\;=\;e_{1}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{2}\;=\;e_{2}\,\sin {\frac {\varphi }{2}}\,,\;\;\lambda _{3}\;=\;\cos {\frac {\varphi }{2}}\,\,,}$

где  ${\displaystyle e_{0},\,e_{1},\,e_{2}}$ — направляющие косинусы оси поворота  (т.е. компоненты вектора ${\displaystyle \mathbf {e} }$ )  в декартовой системе координат ${\displaystyle Oxyz}$ .  Данные параметры удовлетворяют условию

${\displaystyle \lambda _{0}^{2}+\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\;=\;1\,\,,}$

а компоненты вектора конечного поворота ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$   выражаются через них^[23] так:

${\displaystyle \theta _{0}\;=\;{\frac {\lambda _{0}}{\lambda _{3}}},\;\;\theta _{1}\;=\;{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{3}}},\;\;\theta _{2}\;=\;{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{3}}}\,\,.}$

Ныне эти параметры называют^[25] параметрами Эйлера или параметрами Родрига — Гамильтона. Разнобой в терминологии объясняется так^[26]: впервые данные параметры были введены Эйлером в 1770 г., но соответствующая работа Эйлера внимания математиков не привлекла; Родриг, переоткрывший их (о работе Эйлера он не знал) в 1840 г., уже умел — в отличие от Эйлера — вычислять значения этих параметров для суперпозиции двух поворотов вокруг различных осей; Гамильтон же в 1853 г. дал им чёткую интерпретацию в рамках разрабатывавшейся им начиная с 1843 года теории кватернионов (оказалось, что они представляют собой компоненты кватерниона поворота^[27], а суперпозиции двух поворотов отвечает кватернионное произведение соответствующих кватернионов поворота).

При нахождении указанной суперпозиции полезным оказывается впервые доказанное^[19] Родригом следующее утверждение (ныне известное^[28] как теорема Родрига — Гамильтона):  три последовательных поворота вокруг трёх неподвижных прямых, проходящих через одну точку, на углы, равные соответственно удвоенным углам между плоскостями, образуемыми данными прямыми, возвращают тело в исходную конфигурацию.