WikiSort.ru - Не сортированное

Эту страницу предлагается объединить со страницей Аффинное пространство. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К объединению/10 сентября 2018. Обсуждение длится не менее недели (подробнее). Не удаляйте шаблон до подведения итога обсуждения.

Линейным многообразием в линейном пространстве ${\displaystyle H}$ называется подмножество ${\displaystyle M}$ этого пространства вида

${\displaystyle M=\{v+x|x\in L\}}$

для каких-то фиксированных подпространства ${\displaystyle L}$ и вектора ${\displaystyle v}$ , то есть подмножество, полученное сдвигом каждого элемента из ${\displaystyle L}$ на вектор ${\displaystyle v}$ . Обозначение:

${\displaystyle M=v+L}$

Если ${\displaystyle M_{1}=v_{1}+L}$ и ${\displaystyle M_{2}=v_{2}+L}$ , то ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ тогда и только тогда, когда и ${\displaystyle v_{1}-v_{2}\in L}$ .

В частности, ${\displaystyle M}$ является линейным подпространством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle v\in L}$ (т.е. ${\displaystyle M}$ содержит нулевой элемент). В этом случае ${\displaystyle M=L}$ .

Если ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, а ${\displaystyle L}$ — его замкнутое подпространство, то можно выбрать вектор ${\displaystyle v\in H}$ в определении ${\displaystyle M}$ (${\displaystyle M\neq L}$ ) ортогональным подпространству ${\displaystyle L}$ . Такое представление ${\displaystyle M=v+L}$ , ${\displaystyle v\perp L}$ единственно.

Пересечение линейных многообразий всегда является линейным многообразием.

Размерность линейного многообразия ${\displaystyle M}$ — это размерность линейного подпространства ${\displaystyle L}$ : ${\displaystyle \dim M=\dim L.}$ Для линейных многообразий ${\displaystyle M_{1},\,M_{2}}$ в ${\displaystyle n}$ -мерном векторном пространстве или ${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}=\emptyset }$ , или ${\displaystyle \dim(M_{1}\cap M_{2})\geq \dim M_{1}+\dim M_{2}-n}$

Литература

1. Ульянов А. П. Алгебра и геометрия плоскости и пространства для студентов-физиков Лекции для студентов 1 курса физического факультета НГУ.
2. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. Перевод с французского Г. В. Дорофеева. — М.: Наука, 1972. — 335 с.