Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера[1].
Рассмотрим оператор
Функция кватернионного переменного называется регулярной, если
Пусть , тогда и . Несложно проверить, что оператор имеет вид
и совпадает с оператором Лапласа в . Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в . Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции существует регулярная кватернионная функция такая, что . Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.
Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх
Пусть — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной в точке как такое число, что
где — бесконечно малая от , то есть
Множество функций, которые имеют левую производную ограничено. Например, такие функции, как
не имеют левой производной.
Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.
Нетрудно убедиться, что выражения
являются линейными функциями кватерниона . Это наблюдение является основанием для следующего определения[2].
Непрерывное отображение
называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение
называется производной отображения .
Производная может быть представлена в виде[3]
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения
называются компонентами производной.
Производная удовлетворяет равенствам
Если , то производная имеет вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Если , то производная имеет вид
и компоненты производной имеют вид
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .