WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств $A$ и $B$ есть линейное пространство, обозначаемое $A\otimes B$ . Для элементов $a\in A$ и $b\in B$ их тензорное произведение $a\otimes b$ лежит в пространстве $A\otimes B$ .

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть $A$ и $B$ — конечномерные векторные пространства над полем $K$ , $\{e_{i}\}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$ , $\{f_{k}\}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$ . Тензорным произведением $A\otimes B$ пространств $A$ и $B$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами $e_{i}\otimes f_{k}$ , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение $a\otimes b$ произвольных векторов $a\in A,~b\in B$ можно определить, полагая операцию $\otimes$ билинейной:

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K

При этом тензорное произведение произвольных векторов $a$ и $b$ выражается как линейная комбинация базисных векторов $e_{i}\otimes f_{k}$ . Элементы в $A\otimes B$ , представимые в виде $a\otimes b$ , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$ и билинейного отображения $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ существует единственное линейное отображение $f:A\otimes B\to C$ такое, что

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

где $\circ$ обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в $A$ и $B$ , так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства $A\otimes B$ оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ эквивалентно заданию линейного отображения $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ : пространства $\ L^{2}(A\times B,C)$ и $L(A\otimes B,C)$ являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства. Тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ ⊗ V₃, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

\varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

F=L\circ \varphi

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств V_i, i ∈ I, определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения $\scriptstyle \prod _{i\in I}V_{i}.$

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть $A\colon U_{1}\to U_{2}$ , $B\colon W_{1}\to W_{2}$ — линейные операторы. Тензорное произведение операторов $A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}$ определяется по правилу

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.^[1]

Если матрицы операторов A и B при некотором выборе базисов имеют вид

\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}

\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

\mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}

P_{ij}\ =a_{i}b_{j}

P^{ij}\ =a^{i}b^{j}

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (разложимый тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

Ассоциативность

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Коммутативность

A\otimes B\simeq B\otimes A

Линейность

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

— внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ — модули над некоторым коммутативным кольцом $R$ . Тензорным произведением модулей называется модуль $B$ над $R$ , данный вместе с полилинейным отображением $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля $C$ над $R$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h\colon B\to C$ такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$ . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль $M$ , образующими которого будут n-ки элементов модулей $(x_{1},\dots ,x_{n})$ где $x_{i}\in A_{i}$ . Пусть $N$ — подмодуль $M$ , порождаемый следующими элементами:

$(x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$
$(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль $B=M/N$ , класс $(x_{1},\dots ,x_{n})+N$ обозначается $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ , и называется тензорным произведением элементов $x_{i}$ , a $f$ определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ полилинейно. Докажем, что для для любого модуля $C$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h$ , такой, что $g=h\circ f$ .

В самом деле, так как $M$ свободен, то существует единственное отображение $h^{*}$ , делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что $g$ полилинейно, то на $N$ $h^{*}(N)=0$ , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что $h\colon M/N\to C$ , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$ , представимые в виде $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ , называются разложимыми.

Если $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$ — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов $f_{i}$ .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть $e_{i1},\dots ,e_{in}$ — базис модуля $A_{i}$ . Построим свободный модуль $F$ над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ , определив отображение $f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ и распространив его на $A_{1}\times \dots \times A_{n}$ по линейности. Тогда $F$ является тензорным произведением, где $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ является тензорным произведением элементов $e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}$ . Если число модулей и все их базисы конечны, то

\mathrm {rank} (A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=\mathrm {rank} \,A_{1}\cdot \dots \cdot \mathrm {rank} \,A_{n}

.

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Примечания

↑ Hazewinkel, Michiel. Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Gubareni, Gubareni … [и др.]. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.

См. также

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Hazewinkel, Michiel. Algebras, rings and modules / Michiel Hazewinkel, Gubareni, Gubareni … [и др.]. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.