WikiSort.ru - Не сортированное

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М)

Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы ${\displaystyle G}$ по нормальной подгруппе ${\displaystyle H}$ обычно обозначается ${\displaystyle G/H}$ .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$  — группа, ${\displaystyle H}$  — её нормальная подгруппа и ${\displaystyle a\in G}$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$

${\displaystyle aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}}$

можно ввести умножение:

${\displaystyle (aH)(bH)=abH}$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если ${\displaystyle aH=a'H}$ и ${\displaystyle bH=b'H}$ , то ${\displaystyle abH=a'b'H}$ . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа ${\displaystyle G/H}$ называется факторгруппой ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$ .

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)}$ ,

то есть факторгруппа ${\displaystyle G}$ по ядру ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi }$ изоморфна её образу ${\displaystyle \varphi (G)}$ в ${\displaystyle K}$ .

• Отображение ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задаёт естественный гомоморфизм ${\displaystyle G\to G/H}$ .
• Порядок ${\displaystyle G/H}$ равен индексу подгруппы ${\displaystyle [G:H]}$ . В случае конечной группы ${\displaystyle G}$ он равен ${\displaystyle |G|/|H|}$ .
• Если ${\displaystyle G}$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и ${\displaystyle G/H}$ будет обладать тем же свойством.
• ${\displaystyle G/G}$ изоморфна тривиальной группе (${\displaystyle \{e\}}$ ), ${\displaystyle G/{e}}$ изоморфна ${\displaystyle G}$ .

Примеры

• Пусть ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$ , тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ .

• Пусть ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна группе диагональных матриц.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.