Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.
Внешняя алгебра над пространством
обычно обозначается
Определение
Внешняя алгебра
векторного пространства
над полем
— ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком
а порождающими элементами являются
где
— базис пространства
Определяющие соотношения имеют следующий вид:
-
-
При этом внешняя алгебра не зависит от выбора базиса.
Связанные определения
- Операция
называется внешним произведением.
- Подпространство
(для
) в
порождённое элементами вида
называется
-ой внешней степенью пространства
Свойства
-
-
в частности
-
при
а также
-
- Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения:
, если
- Элементы пространства
называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над
с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
-
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
-
- Квадрат произвольного вектора
нулевой:
-
- Следует отметить, что для r-векторов при r > 1 это неверно.
- Линейно независимые системы из
векторов
и
из
порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда
-векторы
и
пропорциональны.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Физматлит, 2009.
- Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — М.: Мир, 1984.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .