WikiSort.ru - Не сортированное

Интегральная теорема Коши — утверждение из теории функций комплексного переменного.

Теорема

Для любой функции ${\displaystyle f(z)}$ , аналитической в некоторой односвязной области ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} ,}$ и для любой замкнутой кривой ${\displaystyle \Gamma \subset A}$ справедливо соотношение ${\displaystyle \oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0}$

Доказательство

Из условия аналитичности (уравнений Коши—Римана) следует, что дифференциальная форма ${\displaystyle f(z)\,dz}$ замкнута. Пусть теперь ${\displaystyle \Gamma }$  — замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции ${\displaystyle f(z)}$ , ограничивающий область ${\displaystyle D}$ . Тогда по теореме Стокса имеем:

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=\int \limits _{\partial D}f(z)\,dz=\int \limits _{D}d[f(z)\,dz]=0}$

Прочее

Ограниченным обращением теоремы Коши является теорема Мореры. Обобщением теоремы Коши на случай многомерного комплексного пространства является теорема Коши — Пуанкаре.

См. также

• Теорема Коши — Пуанкаре

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.