WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$  — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ , снабженное операцией ${\displaystyle A\times A\to A}$ , называемой умножением. Тогда ${\displaystyle A}$ является алгеброй над ${\displaystyle K}$ , если для любых ${\displaystyle x,y,z\in A,\;a,b\in K}$ выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}$
• ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$
• ${\displaystyle (ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)}$ .

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем ${\displaystyle K}$  — это кольцо с единицей ${\displaystyle A}$ , снабженное гомоморфизмом колец с единицей ${\displaystyle f:K\to A}$ , таким, что ${\displaystyle f(K)}$ принадлежит центру кольца ${\displaystyle A}$ (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что ${\displaystyle A}$ является векторным пространством над ${\displaystyle K}$ со следующей операцией умножения на скаляр ${\displaystyle \alpha \in K}$ : ${\displaystyle \alpha x=f(\alpha )\cdot x}$ .

Примеры

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем ${\displaystyle K}$ достаточно указать её размерность ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle n^{3}}$ структурных коэффициентов ${\displaystyle c_{i,j,k}}$ , являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

где ${\displaystyle (e_{1},e_{2},\ldots e_{n})}$  — некоторый базис ${\displaystyle A}$ . Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если ${\displaystyle K}$  — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра ${\displaystyle A}$ является свободным модулем.

См. также

• Дифференциальная алгебра

Примечания

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П.  Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.