WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Теорема Хассе об эллиптических кривых, также называемая границей Хассе, даёт оценку числа точек на эллиптической кривой над конечным полем, причём ограничивает значения как сверху, так и снизу. Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютного значения корней локальной дзета-функции Е. В этом виде её можно рассматривать как аналог гипотезы Римана для поля функций, ассоциированного с эллиптической кривой.

История

Важным аспектом в применении эллиптических кривых является получение эффективного алгоритма подсчёта количества точек эллиптической кривой. История этого вопроса началась в 20 веке, с предположения Пуанкаре о том, что количество рациональных точек на кривой порядка 1 конечно. Это предположение было доказано Луисом Джоэл Морделлом в 1922 году^[1].

В 1924 году Эмиль Артин выдвинул гипотезу об оценке числа этих точек сверху и снизу^[2].

Доказал эту гипотезу Хельмут Хассе в 1933 году и опубликовал в серии статей в 1936 году^[3].

Впоследствии, результаты работ Хассе были обобщены Андре Вейлем для кривых более высоких порядков и были использованы для изучения локальных дзета-функций.

Эллиптические кривые над конечными полями

Эллиптической кривой называется множество точек $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению:

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

Это уравнение может рассматриваться над произвольными полями и, в частности, над конечными полями, представляющими для криптографии особый интерес.

В криптографии используются эллиптические кривые, определённые над полем частных $\mathbb {Q} _{q}$ кольца $\mathbb {Z} _{q}$ целых p-адических чисел, где в общем случае $q=ap^{r}/b$ , $p$ — простое, $a$ и $b$ — целые числа, не делящиесся на $p$ , и $gcd(a,b)=1$ .^{[источник не указан 416 дней]} Для таких кривых бывает необходимым знание количества точек, лежащих на этих кривых. Точное число этих точек вычислить достаточно трудно, однако теорема Хассе даёт достаточно точную оценку этого числа, как сверху, так и снизу.

Чаще всего рассматриваются эллиптические кривые в форме Вейерштрасса над двумя типами конечных полей: простыми полями нечётной характеристики ( $\mathbb {Z} _{p}$ , где $p\geqslant 3$ — простое число) и полями характеристики 2 ( $GF(2^{m})$ ).

$y^{2}=x^{3}+ax+b$ $mod(p)$

Также важной особенностью кривых, используемых в криптографии, является положительность дискриминанта

D=(

x_{1}-

x_{2}

)^{2}

(

x_{1}-

x_{3}

)^{2}

(

x_{2}-

x_{3}

)^{2}

=-16(

4a^{3}+27b^{2}

)

Формулировка теоремы

Теорема Хассе об эллиптических кривых утверждает, что количество точек на эллиптической кривой над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ лежит в интервале: $({\sqrt {q}}-1)^{2}\leq \left|E(\mathbb {F} _{q})\right|\leq ({\sqrt {q}}+1)^{2}$ ^[4]^[5]

Или же, что то же самое, что это число близко к числу точек на проективной прямой над тем же полем: $\left||E(\mathbb {F} _{q})|-q-1\right|<2{\sqrt {q}}$ ^[4]^[5]

Доказательство

В ходе доказательства важнейшую роль будет играть видоизмененное уравнение

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

решения которого ищем в области рациональных функции от переменной $x$ . Два решения этого уравнения просты и равны $X=x,Y=1$ ; $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{(p-1)/2}$ .

Сложение решений этого уравнений происходит по тем же формулам, что и сложение точек на эллиптической кривой, то есть третья точка выбирается на пересечении кривой и прямой, и результатом будет точка с координатами

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax+b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

Далее построим бесконечную последовательность решений, которая представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $(x,1)$ и начальным членом

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{(p-1)/2})

Каждый элемент последовательности представим в виде несократимого соотношения $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ . Далее введем функцию $d_{n}$ , равную степени многочлена $P_{n}$ .

Для доказательства нам потребуются 4 леммы:

Лемма 1: $d_{-1}-d_{0}-1=N_{p}-p$

Доказательство леммы 1:

Согласно формулам сложения имеем $X_{-1}=-x-x^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{(p-1)/2})^{2}(x^{3}+ax+b)}{(x-x^{p})^{2}}}$ , далее заметим что степень числителя больше степени знаменателя на 1, так как $X_{-1}={\frac {x^{2p+1}+R(x)}{(x-x^{p})^{2}}}$ , где R(x) - многочлен степени, не превосходящей 2p. Вычислим знаменатель дроби по проведении необходимых сокращений. С одной стороны $(x-x^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$ , с другой, как известно,

(x^{3}+ax+b)^{(p-1)/2}=\left({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\right)

потому при сокращении из знаменателя выпадут лишь множители вида $(x-k)^{2}$ с ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ , и множители вида $(x-l)$ с $l^{3}+al+b=0$ . Пусть $m$ -количество множителей первого рода, а $n$ - второго. Тогда $d_{-1}=2p-2m-n+1$ , и учитывая, что $d_{0}=p$ , получаем $d_{-1}-d_{0}-1=p-2m-n$ . Число $N$ же равно $2(p-m)-n$ , так как каждому классу вычетов $k$ соответствует два решения, а классу вычетов $l$ - одно. Это доказывает требуемое.

Лемма 2: $d_{n}=n^{2}-(d_{-1}-d_{0}-1)n+d_{0}$

Доказательство леммы 2:

По основной лемме $d_{n+2}=2d_{n+1}-d_{n}+2$ . Очевидно, что для $n=-1$ и $n=0$ лемма верна: пусть она верна и для индексов $n$ и $n+1$ , $n\geqslant 0$ . Тогда

d_{n+2}=2d_{n+1}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{-1}-d_{0}-1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{-1}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2)^{2}-(d_{-1}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

Лемма доказана.

Лемма 3: Для всех n, для которых функция X_n определена, имеет место неравенство ст. Р_n > ст. Q_n.

Доказательство леммы 3:

Мы докажем это неравенство, формально найдя значение функции $X_{n}$ при $x=\infty$ . Пусть $m$ есть нуль или первый номер после очередного пробела^{[уточнить]}, $m\geqslant 0$ . По построению $X|_{\infty }=\infty$ , а $Y|_{\infty }$ ≠0. Допустим обратное. Ввиду того, что дробь ${\frac {X_{n+1}^{3}+aX_{n+1}+b}{x^{3}+ax+b}}$ , должна быть квадратом, разность степеней числителя и знаменателя функции $X_{n+1}$ должна быть числом нечетным, то вместе с $Y_{n+1}|_{\infty }=0$ дает $X_{n+1}|_{\infty }=0$ . Для арифметической прогрессии следует

Y_{n+1}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{n+1})-1

Отсюда находим

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

или

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

то есть

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

,

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Поскольку $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ , отсюда следует, что ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$ . С другой стороны

X_{n+1}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2}}}(x^{3}+ax+b)

Отсюда находим

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b}{x^{3}}})

так что

{\frac {X_{n+1}}{x}}|_{\infty }=-1

Но из этого равенства следует, что $Y_{n+1}^{2}|_{\infty }$ , что противоречит сделанному предположению $Y_{n+1}^{2}|_{\infty }=0$ . Лемма доказана.

Основная лемма: $d_{n-1}+d_{n+1}=2d_{n}+2$ .

Доказательство основной леммы:

Основные трудности в доказательстве теоремы сконцентрированы на основной лемме. Приступим к её доказательству. для любого многочлена P символом ст. Р будем обозначать степень этого многочлена.

Приводя к общему знаменателю и собирая подобные члены в формуле сложения решений, находим

X_{n-1}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^{2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Перемножая почленно две полученные выше формулы и проведя сокращения, получим

X_{n-1}X_{n+1}={\frac {P_{n-1)P_{n+1}}}{Q_{n-1}Q_{n+1}}}={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Цель следующих рассуждений - показать, что $Q_{n-1}*Q_{n+1}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$ . Из этого равенства напрямую получится основная лемма, в самом деле, тогда следует что

P_{n-1}*P_{n+1}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

,

значит $d_{n-1}+d_{n+1}=$ ст. $(P_{n-1}P_{n+1})$ =ст. $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ , потому что в силу леммы 3 старший член многочлена $P_{n-1}P_{n+1}$ совпадает со старшим членом многочлена $x^{2}P_{n}^{2}$ . Теперь докажем нужное равенство.

Напомним, что в области многочленов существует однозначное разложение на неприводимые множители. Пусть $E$ - неприводимый многочлен, а $e$ - любое целое положительное число. Мы будем говорить, что многочлен $E^{e}$ строго делит некоторую несократимую рациональную функцию, если её числитель делится на $E^{e}$ , но не делится на $E^{e+1}$ . Для доказательства нужного равенства нужно установить что если многочлен $E^{e}$ строго делит $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ , то он строго делит также $Q_{n-1}Q_{n+1}$ . В самом деле, тогда частное ${\frac {Q_{n-1}Q_{n+1}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ представляет собой многочлен, который взаимно прост с многочленом (xQ_n-P_n)^2. Но поскольку из приведенного уравнения следует, что функция $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ является многочленом, то из предыдущих равенств для <X_{n-1}> и <X_{n+1}>без труда получается, что знаменатели $Q_{n-1}$ , $Q_{n+1}$ делят многочлен $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ . Тем самым частное ${\frac {Q_{n-1}Q_{n+1}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ может быть только константой, и эта константа равна единице в силу принятой нормировки старших членов числителей $P_{n}$ .

Разобьем все неприводимые делители $E$ многочлена $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ на три группы. К первой группе отнесем те многочлены, которые делят R, но не делят S. Из этого сразу же вытекает, что если многочлен $E^{e}$ строго делит $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ , то он строго делит знаменатель $Q_{n+1}$ и взаимно просто со знаменателем $Q_{n-1}$ . Ко второй группе отнесем те многочлены $>E$ , которые делят S, но не делят R. Точно так же получается, что если многочлен $E^{e}$ строго делит $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ , то он строго делит знаменатель $Q_{n-1}$ и взаимно просто со знаменателем $Q_{n+1}$ . Наконец к третьей группе отнесем те многочлены $E$ , которые делят и R, и S. Поскольку

P_{n}=xQ_{n}(modE)

,

следует что

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

,

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(modE)

.

Многочлен $E$ , деля многочлен $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ , не может делить $Q_{n}$ , поскольку $P_{n}$ и $Q_{n}$ взаимно просты. Отсюда и из последних формул вытекает, что $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)modE$ , так что если $E$ делит $R$ и $S$ , то $E$ строго делит многочлен $x^{3}+ax+b$ (по предположению этот многочлен не имеет кратных корней).

Итак, пусть $E$ - неприводимый делитель многочлена $x^{3}+ax+b$ . Предположим сначала, что $Y_{n}$ ≠±1 $(modE)$ (эта запись по определению означает, что числитель несократимого представления функции $Y_{n}$ ±1 не делится на $E$ ). Тогда следует, что $E$ строго делит $R$ , потому что многочлен $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ делится по крайней мере на $E^{2}$ . Подобным образом получается, что $E$ делит $S$ , но тогда вытекает, что $E^{2}$ строго делит $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ .

Таким образом, остается проверить случай $Y_{n}+$ =±1 $(modE)$ . Пусть, например, $Y_{n}=-1(modE)$ (вторая разбирается аналогично). Тогда $E$ строго делит $S$ . Пусть $E^{2}$ строго делит $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ , а $E^{2f+1}$ строго делит $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ . Очевидно $E^{2f}$ строго делит также функцию $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$ . Но

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

.

Кроме того, $x=X_{n}(modE)$ , $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ ≠0 $(modE)$ , так что $2f=2e-2$ и, следовательно, число $2f+1=2e-1$ меньше степени, в которой $E$ строго делит $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ . Поэтому $E^{2e}$ строго делит $RS$ . Откуда вытекает, что $E^{2e}$ строго делит $Q_{n-1}Q_{n+1}$ . Что и требовалось доказать.

Согласно леммам 1 и 2, $d_{n}=n^{2}-(N-p)n+p$ , и этот квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения для всех $n$ , причем по определению не может иметь двух последовательных нулей. Отсюда имеем, что дискриминант не может быть положительным, иначе было 2 корня $a,b$ , между $n$ и $n+1$ , и числа $ab$ и $a+b$ не могут быть одновременно целыми. Следовательно,

(N-p)^{2}-4p\leqslant 0

,

так что

|N-p|<2{\sqrt {p}}

. Теорема доказана.

Доказательство при помощи эндоморфизма Фробениуса

Существует альтернативное доказательство теоремы Хассе, в основе которого лежит использование эндоморфизма Фробениуса.

Для конечного поля $\mathbb {F} _{q}$ с алгебраическим замыканием ${\bar {\mathbb {F} _{q}}}$ вводится отображение:

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\bar {\mathbb {F} _{q}}}\rightarrow {\bar {\mathbb {F} _{q}}}\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

На точки эллиптической кривой $E(\mathbb {F} _{q})$ оно действует, как: $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q}),\quad \phi _{q}(\infty )=\infty$ .

Для доказательства используются следующие 4 леммы:

Лемма 1.

Для эллиптической кривой $E(\mathbb {F} _{q})$ над полем $\mathbb {F} _{q}$ и точек $(x,y)\in E(\mathbb {\bar {{F}_{q}}} )$ выполняется:

1) $\phi _{q}(x,y)\in E(\mathbb {\bar {{F}_{q}}} )$ ,

2) $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ тогда и только тогда, когда $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$ .

Лемма 2.

Для эллиптической кривой $E(\mathbb {F} _{q})$ отображение $\phi _{q}$ является эндоморфизмом кривой $E$ степени $q$ , и $\phi _{q}$ не разделяемый.

Лемма 3.

Пусть определена эллиптическая кривая $E(\mathbb {F} _{q})$ и $n\geq 1$ . Тогда

1) $Ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n}})$ ,

2) $\phi _{q}^{n}-1$ - разделяемый эндоморфизм, и поэтому $|E(\mathbb {F} _{q^{n}})|=deg(\phi _{q}^{n}-1)$ .

Лемма 4.

Обозначим $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-deg(\phi _{q}-1)$

Пусть $r,s$ - целые числа и $gcd(s,q)=1$ . Тогда $deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$ .

Исходя из леммы 4, и поскольку $deg(r\phi _{q}-s)\geq 0$ , получается, что

$q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geq 0$ , для любых $r,s$ , где $gcd(s,q)=1$ .

Множество рациональных чисел $r/s$ , где $gcd(s,q)=1$ плотное в $\mathbb {R}$ . Отсюда, обозначив $r/s=x$ , получаем неравенство $qx^{2}-ax+1\geq 0$ , верное для всех действительных $x$ .

Так как дискриминант полинома меньше или равен нулю, то есть $a^{2}-4q\leq 0$ , то отсюда следует, что $|a|\leq 2{\sqrt {q}}$ .

Доказательство теоремы Хассе на основе эндоморфизма Фробениуса также лежит в основе алгоритма Шуфа. Данный алгоритм позволяет подсчитать количество точек для конкретно заданной эллиптической кривой за полиномиальное время.

Граница Хассе-Вейля

Обобщением границы Хассе для алгебраических кривых более высокого рода является граница Хассе-Вейля. Она устанавливает ограничение на количество точек на кривой над конечным полем. Если число точек на кривой С рода g над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ есть $\#C(\mathbb {F} _{q})$ , то

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.

Этот результат также эквивалентен определению абсолютного значения корней локальной дзета-функции С, и является аналогом гипотезы Римана для поля функций, ассоциированного с кривой.

В случае эллиптических кривых граница Хассе-Вейля сводится к обычной границе Хассе, так как эллиптические кривые имеют род g=1.

Граница Хассе-Вейля является следствием гипотез Вейля, первоначально предложенных А. Вейлем в 1949 году^[6]. Доказательства были предоставлены Пьером Делинем в 1974 году^[7].

Применение

Криптография

В криптографии используются алгоритмы шифрования, основанные на эллиптических кривых.

Стойкость этих алгоритмов основывается на сложности вычисления дискретного логарифма в группе точек эллиптической кривой. Поскольку до сих пор не существует быстрых алгоритмов вычисления дискретного логарифма на эллиптической кривой, то использование эллиптических кривых позволяет сильно ускорить алгоритмы шифрования за счёт уменьшения размера используемого модуля $p$ . Теорема Хассе же позволяет весьма точно определить размер простого числа $q$ , необходимого для достаточной сложности алгоритма.

В частности, один из таких алгоритмов используется для формирования и проверки электронной цифровой подписи в российском стандарте ГОСТ Р 34.10-2012. В нём используются эллиптические кривые Вейерштрасса в общей форме, a $q$ лежит в пределах $2^{254}<q<2^{256}$ .

Национальный институт стандартов и технологий (NIST) рекомендует использовать числа вида $p=2^{256}-2^{32}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-2^{6}-2^{4}-1$ для быстрого деления по модулю. Так же, по причине эффективной программной реализации рекомендуется использование конкретных конечных полей и эллиптических кривых в этих полях. В частности, FIPS 186-3^[8] рекомендует 10 конечных полей. Некоторые из них:

поля , где простое p имеет длину 192, 224, 256, 384 или 521 бит,
поля , где m = 163, 233, 283, 409 или 571.

Связь с локальной дзета-функцией Римана

Существует гипотеза Римана для кривых над конечным полем. В ней рассматривается зета-функция, задаваемая формулой $Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)}$ , где $a_{q}=q-N_{q}$ , а $N_{q}$ — количество точек эллиптической кривой $E$ над полем $\mathbb {F} _{q}$ .

Для неё утверждается, что если $Z_{E}(q^{-s})=0$ , тогда $Re(s)=1/2$ .

Доказательство этого факта легко получить, рассмотрев ограничения на величину $a_{q}(E)$ . Однако этот результат уже известен из теоремы Хассе, откуда мы получаем, что $|N_{q}-q|\leq 2{\sqrt {q}}$ .

Отсюда легко видно, что если $Z_{E}(q^{-s})=0$ , то $q^{s}$ является корнем уравнения $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ с дискриминантом $a_{q}^{2}-4q\leq 0$ .

Тогда для корней $u_{1},u_{2}$ выполняется $|u_{1}|=|u_{2}|$ , откуда с учётом теоремы Хассе очевидно, что $|q^{s}|={\sqrt {q}}$ и $Re(s)=1/2$ .

Диофантовы уравнения

Предположение Пуанкаре о конечности рациональных точек на кривой порядка 1, являющееся предпосылкой теоремы Хассе, также нашло своё применение в решении диофантовых уравнений.

В 1922 году Луис Морделл связал множество решений диофантова алгебраического уравнения с геометрическим родом кривой, задаваемой этим уравнением. В процессе анализа уравнения $y^{2}=x^{3}+k$ , где $k$ - целое число, он пришел к выводу, что для уравнений достаточно высокой степени размерность пространства решений выражается через род кривой, и потому эта размерность конечна^[9].

Примечания

↑ Min R. Nevanlinna Theory And Its Relation To Diophantine Approximation. — Singapore : World Scientific, 2001. — 340 p. — ISBN 9814492485. — ISBN 9789814492485.
↑ Artin, Emil. Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift^[de] : journal. — Luxemburg : Springer-Verlag, 1924. — Vol. 19, no. 1. — P. 207–246. — ISSN 0025-5874. — DOI:10.1007/BF01181075. — Zbl 51.0144.05. — MR 1544652.
↑ Hasse, Helmut. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle’s Journal : journal. — Berlin : Walter de Gruyter, 1936. — Vol. 1936, no. 175. — ISSN 0075-4102. — DOI:10.1515/crll.1936.175.193. — Zbl 0014.14903.
1 2 Hasse’s bound for elliptic curves over finite fields (неопр.). PlanetMath. Проверено 18 декабря 2017.
1 2 Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б., Часовских А. А. Элементарное введение в эллиптическую криптографию : Алгебраические и алгоритмические основы. — М. : КомКнига, 2006. — Т. 1. — 328 с. — ISBN 5-484-00443-8.
↑ Weil, André. Numbers of solutions of equations in finite fields // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — N. Y. : American Mathematical Society, 1949. — Vol. 55, no. 5. — P. 497–508. — ISSN 0002-9904. — DOI:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. — MR 0029393.
↑ Deligne, Pierre. La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : journal. — Bures-sur-Yvette : Institut des hautes études scientifiques, 1974. — Vol. 43. — P. 273–307. — ISSN 0073-8301. — DOI:10.1007/BF02684373. — Zbl 0287.14001. — MR 340258.
↑ FIPS 186-3 Архивировано 7 октября 2013 года. // NIST, 2009; устарел в 2013 году с выходом FIPS 186-4
↑ Mordell L. J. Diophantine Equations. — L. — N. Y. : Academic Press, 1969. — Vol. 30. — 311 p. — ISBN 0080873421. — ISBN 9780080873428.

Литература

Hurt, Norman E. (2003), Many Rational Points. Coding Theory and Algebraic Geometry, vol. 564, Mathematics and its Applications, Dordrecht: Kluwer/Springer-Verlag, MR: 2042828,, ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald & Xing, Chaoping (2009), Algebraic Geometry in Coding Theory and Cryptography, Princeton: Princeton University Press, MR: 2573098,, ISBN 978-0-6911-0288-7
Глава V Silverman, Joseph H. (1994), The arithmetic of elliptic curves, vol. 106, Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, MR: 1329092,, ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Elliptic Curves. Number Theory and Cryptography, 2nd Ed, Discrete Mathematics and its Applications, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, MR: 2404461,, ISBN 978-1-4200-7146-7
Глава 10 Гельфанд, А.О. & Линник, Ю.В. (1962), Элементарные методы в аналитической теории чисел, Москва: Физматгиз
Chahal, J.S. & Osserman, B. (2008), The Riemann Hypothesis for Elliptic Curves, Mathematical Association of America

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Min R. Nevanlinna Theory And Its Relation To Diophantine Approximation. — Singapore : World Scientific, 2001. — 340 p. — ISBN 9814492485. — ISBN 9789814492485.

[2] Artin, Emil. Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift^[de] : journal. — Luxemburg : Springer-Verlag, 1924. — Vol. 19, no. 1. — P. 207–246. — ISSN 0025-5874. — DOI:10.1007/BF01181075. — Zbl 51.0144.05. — MR 1544652.

[3] Hasse, Helmut. Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle’s Journal : journal. — Berlin : Walter de Gruyter, 1936. — Vol. 1936, no. 175. — ISSN 0075-4102. — DOI:10.1515/crll.1936.175.193. — Zbl 0014.14903.

[:0-4] 1 2 Hasse’s bound for elliptic curves over finite fields (неопр.). PlanetMath. Проверено 18 декабря 2017.

[:1-5] 1 2 Болотов А. А., Гашков С. Б., Фролов А. Б., Часовских А. А. Элементарное введение в эллиптическую криптографию : Алгебраические и алгоритмические основы. — М. : КомКнига, 2006. — Т. 1. — 328 с. — ISBN 5-484-00443-8.

[6] Weil, André. Numbers of solutions of equations in finite fields // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — N. Y. : American Mathematical Society, 1949. — Vol. 55, no. 5. — P. 497–508. — ISSN 0002-9904. — DOI:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. — MR 0029393.

[7] Deligne, Pierre. La Conjecture de Weil: I // Publications Mathématiques de l'IHÉS : journal. — Bures-sur-Yvette : Institut des hautes études scientifiques, 1974. — Vol. 43. — P. 273–307. — ISSN 0073-8301. — DOI:10.1007/BF02684373. — Zbl 0287.14001. — MR 340258.

[8] FIPS 186-3 Архивировано 7 октября 2013 года. // NIST, 2009; устарел в 2013 году с выходом FIPS 186-4

[9] Mordell L. J. Diophantine Equations. — L. — N. Y. : Academic Press, 1969. — Vol. 30. — 311 p. — ISBN 0080873421. — ISBN 9780080873428.