WikiSort.ru - Не сортированное

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов; это число называется поря́дком поля.

Конечное поле обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ или ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка ${\displaystyle q}$ ^[1], где ${\displaystyle q}$  — число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть ${\displaystyle q=p^{n}}$ , где ${\displaystyle p}$  — простое число, а ${\displaystyle n}$  — любое натуральное число. При этом ${\displaystyle p}$   будет являться характеристикой этого поля^[2].

Понятие конечного поля используется в теории чисел^[3], теории групп^[3], алгебраической геометрии^[3], криптографии^[4].

Определение и свойства

Конечным полем называется конечное множество, на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением, (кроме деления на 0) в соответствии с аксиомами поля^[5].

Мультипликативная группа конечного поля циклична. То есть все ненулевые элементы поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ образуют группу относительно операции умножения (эта группа называется мультипликативной группой поля и обозначается ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$ ). Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего^[5]. То есть, существует ${\displaystyle g}$  — порождающий элемент, такой что для любого ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}^{*}}$ , можно записать:

${\displaystyle \exists n:g^{n}=a\mod q}$ .

Порождающий элемент ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$ называется также примитивным элементом поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$ Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ содержит ${\displaystyle \varphi (q-1)}$ примитивных элементов, где ${\displaystyle \varphi }$  — функция Эйлера.^[6]

Также поле обладает рядом других свойств:

• Согласно малой теореме Ферма, каждый элемент поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ удовлетворяет равенству ${\displaystyle a^{q}=a}$ ^[2].
• Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ содержит в себе в качестве подполя ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle k}$ является делителем ${\displaystyle n}$ ^[1].
• Если ${\displaystyle f\in \mathbb {F} _{q}[x]}$  — неприводимый многочлен степени ${\displaystyle m}$ , то поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}$ содержит любой его корень ${\displaystyle \alpha }$ , причём множество всех его корней имеет вид ${\displaystyle \{\alpha ,\alpha ^{q},\ldots ,\alpha ^{q^{m-1}}\}}$ . Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}}$ является полем разложения многочлена ${\displaystyle f}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ^[7].
• Для каждого конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ и натурального числа ${\displaystyle n}$ произведение всех нормированных неприводимых над ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ многочленов, степень которых делит ${\displaystyle n}$ , равно ${\displaystyle x^{q^{n}}-x.}$ В частности, сумма степеней таких многочленов равна ${\displaystyle q^{n}}$ ^[8].
• Число ${\displaystyle N(q,n)}$ нормированных многочленов степени n, неприводимых над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$ определяется по формуле ${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}}$ , где ${\displaystyle \mu }$  — функция Мёбиуса. Это утверждение следует из формулы ${\displaystyle q^{n}=\sum _{d|n}dN(q,d)}$ после применения формулы обращения Мёбиуса^[9].

Поле с простым числом элементов

Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из ${\displaystyle \mathbb {GF} _{p}}$ элементов изоморфно кольцу вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}$ ). Наиболее известный пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа ${\displaystyle p}$ , обозначаемое ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p)}$ ^[10]. Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа ${\displaystyle p}$ элементами поля будут числа ${\displaystyle \{0,1,...,p-1\}}$ . Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю ${\displaystyle p}$ ^[11]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.

Cвязь с кольцами вычетов

Не следует путать конечные поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ и кольца вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}$ . Только когда порядок простое число, кольцо вычетов является полем.^[12]

При n>1 кольцо вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n})}$ полем не является. Пример.

В поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{8}}$ для любого элемента верно ${\displaystyle x+x=0}$ .

В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$ , вычисляя ${\displaystyle x+x}$ , мы получим 0 только в двух случаях, когда ${\displaystyle x=4,x=0}$ . Это кольцо имеет делители нуля: ${\displaystyle 2\cdot 4=0{\pmod {8}}}$ .

Характеризация конечных полей

Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Пусть ${\displaystyle F}$  — конечное поле. Тогда оно состоит из ${\displaystyle p^{n}}$ элементов, где ${\displaystyle p}$  — характеристика поля ${\displaystyle F}$ , а натуральное число ${\displaystyle n}$  — степень поля ${\displaystyle F}$ над его простым подполем^[2].

Согласно теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа ${\displaystyle p}$ и натурального числа ${\displaystyle n}$ существует конечное поле из ${\displaystyle p^{n}}$ элементов и любое конечное поле из ${\displaystyle q=p^{n}}$ элементов изоморфно полю разложения многочлена ${\displaystyle x^{q}-x}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Данная теорема позволяет говорить о вполне определённом поле данного порядка ${\displaystyle q}$ (то есть о поле Галуа из ${\displaystyle q}$ элементов)^[13].

Построение

Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ при n > 1 можно построить как факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}$ , где ${\displaystyle f(x)}$  — неприводимый многочлен степени n над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ . Таким образом, для построения поля из ${\displaystyle p^{n}}$ элементов достаточно отыскать многочлен степени ${\displaystyle n}$ , неприводимый над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (такой многочлен всегда существует). Элементами поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ являются классы вычетов многочленов степени меньшей ${\displaystyle n}$ с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ по модулю главного идеала, порождённого многочленом ${\displaystyle f(x)}$ .

Элемент ${\displaystyle \alpha =x+(f(x))\in \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}$ является корнем многочлена ${\displaystyle f(x)}$ и поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}$ порождается этим элементом над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , поэтому переход от поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ к полю ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))}$ называется присоединением к полю ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ корня неприводимого многочлена ${\displaystyle f(x)}$ .^[14][15]

Примеры

Поле из четырёх элементов

Поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ можно представить как множество ${\displaystyle \{0,1,\alpha ,\alpha +1\}}$ (где ${\displaystyle \alpha }$  — корень многочлена ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+1}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ , то есть ${\displaystyle \alpha ^{2}=-\alpha -1=\alpha +1}$ ). Таблицы операций ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$ имеют вид:^[17]

+ 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 1 0 ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 1 ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ 1 0

× 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 0 0 0 0 1 0 1 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ 0 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 ${\displaystyle \alpha +1}$ 0 ${\displaystyle \alpha +1}$ 1 ${\displaystyle \alpha }$

Поле из девяти элементов

Для построения поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathrm {GF} (3^{2})}$ достаточно найти нормированный многочлен степени 2, неприводимый над ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ . Такими многочленами являются:

${\displaystyle x^{2}+1}$

${\displaystyle x^{2}+x+2}$

${\displaystyle x^{2}+2x+2}$

Для ${\displaystyle x^{2}+1}$ искомое поле есть ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}$ (если вместо ${\displaystyle x^{2}+1}$ взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому). В приведённых ниже таблицах символ ${\displaystyle i}$ обозначает класс эквивалентности многочлена ${\displaystyle x}$ в факторкольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[x]/(x^{2}+1)}$ , удовлетворяющий уравнению ${\displaystyle i^{2}+1=0}$ .

Таблица сложения в ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$ определяется, исходя из соотношения ${\displaystyle 1+1+1=0}$ :

+	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
0	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
1	1	2	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$
2	2	0	1	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	0	1	2
${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	2	0
${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	2	0	1
${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$
${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	2	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$
${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	2	0	1	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$

Таблица умножения в ${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$ определяется из соотношения ${\displaystyle i^{2}=-1}$ :

×	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$
2	0	2	1	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+1}$
${\displaystyle i}$	0	${\displaystyle i}$	${\displaystyle 2i}$	2	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i+2}$	1	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$
${\displaystyle i+1}$	0	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i}$	1	${\displaystyle 2i+1}$	2	${\displaystyle i}$
${\displaystyle i+2}$	0	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle 2i+2}$	1	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i}$	2
${\displaystyle 2i}$	0	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle i}$	1	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i+1}$	2	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+2}$
${\displaystyle 2i+1}$	0	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i+2}$	${\displaystyle i+1}$	2	${\displaystyle 2i}$	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i}$	1
${\displaystyle 2i+2}$	0	${\displaystyle 2i+2}$	${\displaystyle i+1}$	${\displaystyle 2i+1}$	${\displaystyle i}$	2	${\displaystyle i+2}$	1	${\displaystyle 2i}$

Можно проверить, что элемент ${\displaystyle i+1}$ имеет порядок 8 и является примитивным. Элемент ${\displaystyle i}$ не является примитивным, так как ${\displaystyle i^{4}=1}$ (другими словами, многочлен ${\displaystyle x^{2}+1\in \mathbb {F} _{3}[x]}$ не является примитивным)^[17].

Мультипликативная группа поля из 16 элементов

Когда поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{16}=\mathrm {GF} (2^{4})}$ строится с помощью неприводимого многочлена ${\displaystyle x^{4}+x+1}$ , элементы расширения задаются наборами коэффициентов многочлена, который получается в остатке при делении на ${\displaystyle x^{4}+x+1}$ , записанными в порядке возрастания степеней. Мультипликативная группа порождается элементом ${\displaystyle \alpha =x}$ , который записывается как (0, 1, 0, 0)^[18].

Многочлен	Степень ${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3}}$
1	${\displaystyle \alpha ^{0}}$	(1, 0, 0, 0)
${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha }$	(0, 1, 0, 0)
${\displaystyle \alpha ^{2}}$	${\displaystyle \alpha ^{2}}$	(0, 0, 1, 0)
${\displaystyle \alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{3}}$	(0, 0, 0, 1)
${\displaystyle 1+\alpha }$	${\displaystyle \alpha ^{4}}$	(1, 1, 0, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}}$	${\displaystyle \alpha ^{5}}$	(0, 1, 1, 0)
${\displaystyle \alpha ^{2}+\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{6}}$	(0, 0, 1, 1)
${\displaystyle \alpha ^{3}+\alpha +1=\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{7}}$	(1, 1, 0, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{2}=\alpha +1+\alpha ^{2}+\alpha }$	${\displaystyle \alpha ^{8}}$	(1, 0, 1, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{9}}$	(0, 1, 0, 1)
${\displaystyle \alpha ^{2}+1+\alpha =\alpha ^{2}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{10}}$	(1, 1, 1, 0)
${\displaystyle \alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}}$	${\displaystyle \alpha ^{11}}$	(0, 1, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{12}}$	(1, 1, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{2}+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{2}+\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{13}}$	(1, 0, 1, 1)
${\displaystyle 1+\alpha ^{3}=\alpha +\alpha ^{3}+\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{14}}$	(1, 0, 0, 1)
${\displaystyle 1=\alpha +\alpha ^{4}}$	${\displaystyle \alpha ^{15}}$	(1, 0, 0, 0)

История изучения

Начала теории конечных полей восходят к XVII и XVIII веку. Над этой темой работали такие учёные, как Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и Адриен Мари Лежандр, которых можно считать основателями теории конечных полей простого порядка. Однако больший интерес представляет общая теория конечных полей, берущая своё начало с работ Гаусса и Галуа^[19]. До некоторого времени эта теория находила применение только в алгебре и теории чисел, однако впоследствии были найдены новые точки соприкосновения с алгебраической геометрией, комбинаторикой и теорией кодирования^[3].

Вклад Галуа

В 1830 году восемнадцатилетний Эварист Галуа опубликовал работу^[20], которая положила основу общей теории конечных полей. В этой работе Галуа (в связи с исследованиями по теории групп перестановок и алгебраических уравнений^[21]) вводит воображаемый корень сравнения ${\displaystyle F(x)\equiv 0{\pmod {p}}}$ , где ${\displaystyle F(x)}$ — произвольный многочлен степени ${\displaystyle \nu }$ , неприводимый по модулю p. После этого рассматривается общее выражение ${\displaystyle A=a_{0}+{a_{1}}i+{a_{2}}i^{2}+...+a_{\nu -1}i^{\nu -1}}$ , где ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1}}$  — некие целые числа по модулю p. Если присваивать этим числам всевозможные значения, выражение ${\displaystyle A}$ будет принимать ${\displaystyle p^{\nu }}$ значений. Далее Галуа показывает, что эти значения образуют поле и мультипликативная группа этого поля является циклической. Таким образом, эта работа является первым камнем в фундаменте общей теории конечных полей. В отличие от его предшественников, рассматривающих только поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , Галуа рассматривает уже поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ , которые начали называть полями Галуа в его честь^[22].

На самом деле, первая работа в этом направлении была написана Гауссом примерно в 1797 году, однако при его жизни это исследование так и не было издано. Вероятно, данное исследование было проигнорировано редактором его сочинений, поэтому на свет эта работа появилась только в посмертном издании в 1863 году^[23].

Приложения

Диофантовы уравнения

Диофантово уравнение является уравнением с целыми коэффициентами, в котором переменные также принимают целочисленные значения. Большую волну обсуждения таких уравнений вызвал Ферма, сформулировав свои теоремы. Малая теорема Ферма утверждает, что если ${\displaystyle p}$  — простое число, не являющееся делителем другого числа ${\displaystyle a}$ , то ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$ . В теории конечных полей эта теорема является очевидным следствием теоремы Лагранжа, применённой к мультипликативной подгруппе, порождённой элементом ${\displaystyle a}$ , так как вся мультипликативная группа поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ состоит из ${\displaystyle p-1}$ элементов^[5].

Ферма замечает, что единственные простые числа, которые можно разложить в сумму двух квадратов — это те простые числа, которые дают остаток 1 при делении на 4. В частности, он отмечает, что

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

В своём письме к Марену Мерсенну, датированном 25 декабря 1640 года, Ферма предлагает решить уравнение ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$ ^[27].

Юлиус Дедекинд исследовал это уравнение в конечном поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ , где оно принимает вид ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=0}$ . Если ${\displaystyle b=0}$ , то решение тривиально. В противном случае можно разделить обе части на ${\displaystyle b^{2}}$ и, введя замену, получить уравнение вида ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ . Домножением на ${\displaystyle x^{2}-1=0}$ получается уравнение ${\displaystyle x^{4}-1=0}$ . Считая ${\displaystyle x}$ генератором мультипликативной подгруппы порядка 4, можно получить необходимые и достаточные условия на p, при которых уравнение имеет решение. Дальнейшее доказательство теоремы Ферма — Эйлера, проведённое Дедекиндом, не использует понятия конечных полей и его можно найти в соответствующей статье^[28].

Прочее

В 1960 году Р. К. Боуз^[en] и Д. К. Рой-Чоудхури^[en] опубликовали работу, в которой исследовали семейства многочленов над конечными полями. А. Хоквингем^[en] обобщил их теорию, что привело к созданию кода БЧХ, частным случаем которого является широко известный код Рида — Соломона, имеющий очень обширное применение. Он используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Примечательно то, что при повреждении значительного объёма информации, или если испорчено несколько секторов дискового носителя, код Рида — Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Код БЧХ используется также в системе связи некоторых зондов NASA (таких как Voyager)^[35].

См. также

• Поле
• Группа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем
• Автоморфизм Фробениуса

Примечания

Литература

• Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — новое изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-685-3.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г.  Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1988. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.
• Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А., Вялый М. Н.  Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5.
• Васильев К. К., Глушков В. А., Дормидонтов А. В., Нестеренко А. Г.  Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8.
• Steinitz, Ernst.  Algebraische Theorie der Körper (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1910. — Bd. 137. — S. 167-309.
• Diffie W., Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Trans. Inf. Theory / F. Kschischang — IEEE, 1976. — Vol. 22, Iss. 6. — P. 644–654. — ISSN 0018-9448 — doi:10.1109/TIT.1976.1055638
  <a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q16194641'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q27178858'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q127793'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q476466'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q462089'></a>
• Kleiner, Israel.  A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4.