WikiSort.ru - Не сортированное

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ и определяемая как бесконечный степенной ряд

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},}$

где s и z — комплексные числа, причём ${\displaystyle |z|<1}$ . Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$   ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$

Частным случаем является ${\displaystyle s=1}$ , при котором ${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$ . Функции ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$ получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z\,(1+z) \over (1-z)^{3}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z\,(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z\,(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}\,.}$

Литература

• Abel, N.H. Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II : []. — Christiania [Oslo] : Grøndahl & Søn, 1881. — P. 189–193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
• Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / M. Abramowitz, Stegun. — New York : Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.
• Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S. (April 1997). “On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903—913. DOI:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Используется устаревший параметр |month= (справка)
• Bailey, D.H. & Broadhurst, D.J. (June 20, 1999), "A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder", arΧiv:math.CA/9906134 [math.CA] 

• Berndt, B.C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. — New York : Springer-Verlag, 1994. — P. 323–326. — ISBN 0-387-94109-6.
• Boersma, J.; Dempsey, J.P. (1992). “On the evaluation of Legendre's chi-function”. Mathematics of Computation. 59 (199): 157—163. DOI:10.2307/2152987. JSTOR 2152987.
• Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. (2001). “Special Values of Multiple Polylogarithms”. Transactions of the American Mathematical Society. 353 (3): 907—941. DOI:10.1090/S0002-9947-00-02616-7.
• Clunie, J. (1954). “On Bose-Einstein functions”. Proceedings of the Physical Society, Section A. 67 (7): 632—636. DOI:10.1088/0370-1298/67/7/308.
• Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. (1992). “A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder” (PS). Experimental Mathematics. 1 (1): 25—34.
• Coxeter, H.S.M. (1935). “The functions of Schläfli and Lobatschefsky”. Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). 6 (1): 13—29. DOI:10.1093/qmath/os-6.1.13.
• Cvijovic, D.; Klinowski, J. (1997). “Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms” (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (9): 2543—2550. DOI:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
• Cvijovic, D. (2007). “New integral representations of the polylogarithm function” (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A. 463 (2080): 897—905. DOI:10.1098/rspa.2006.1794.
• Erdélyi, A. Higher Transcendental Functions, Vol. 1 / A. Erdélyi, Magnus, Oberhettinger … [и др.]. — New York : Krieger, 1981.
• Fornberg, B.; Kölbig, K.S. (1975). “Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function”. Mathematics of Computation. 29 (130): 582—599. DOI:10.2307/2005579. JSTOR 2005579.
• GNU Scientific Library. Reference Manual (неопр.) (2010). Проверено 13 июня 2010. Архивировано 14 мая 2012 года.
• Gradshteyn, I.S. Tables of Integrals, Series, and Products / I.S. Gradshteyn, Ryzhik. — 4th. — New York : Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-294760-6.
• Guillera, J.; Sondow, J. (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. The Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. arXiv:math.NT/0506319. DOI:10.1007/s11139-007-9102-0.
• Hain, R.M. (March 25, 1992), "Classical polylogarithms", arΧiv:alg-geom/9202022 [alg-geom] 

• Jahnke, E. Tables of Functions with Formulae and Curves / E. Jahnke, Emde. — 4th. — New York : Dover Publications, 1945.
• Jonquière, A. (1889). “Note sur la série ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{s}}}}$ ” (PDF). Bulletin de la Société Mathématique de France [фр.]. 17: 142—152.
• Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. (1970). “On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation”. BIT. 10: 38—74. DOI:10.1007/BF01940890.
• Kirillov, A.N. (1995). “Dilogarithm identities”. Progress of Theoretical Physics Supplement. 118: 61—142. arXiv:hep-th/9408113. DOI:10.1143/PTPS.118.61.
• Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. — London : Macdonald, 1958.
• Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. — New York : North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1.
• Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. — Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1991. — Vol. 37. — ISBN 0-8218-1634-9.
• Markman, B. (1965). “The Riemann Zeta Function”. BIT. 5: 138—141.
• Maximon, L.C. (2003). “The Dilogarithm Function for Complex Argument” (PDF). Proceedings of the Royal Society (London), Series A. 459 (2039): 2807—2819. DOI:10.1098/rspa.2003.1156.
• McDougall, J.; Stoner, E.C. (1938). “The computation of Fermi-Dirac functions”. Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. 237 (773): 67—104. DOI:10.1098/rsta.1938.0004.
• Nielsen, N. (1909). “Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen”. Nova Acta Leopoldina [нем.]. Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. XC (3): 121—212.
• Prudnikov, A.P. Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions / A.P. Prudnikov, Marichev, Brychkov. — Newark, NJ : Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6. (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
• Robinson, J.E. (1951). “Note on the Bose-Einstein integral functions”. Physical Review, Series 2. 83 (3): 678—679. DOI:10.1103/PhysRev.83.678.
• Rogers, L.J. (1907). “On function sum theorems connected with the series ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n^{2}}}}$ ”. Proceedings of the London Mathematical Society (2). 4 (1): 169—189. DOI:10.1112/plms/s2-4.1.169.
• Schrödinger, E. Statistical Thermodynamics. — 2nd. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1952.
• Truesdell, C. (1945). “On a function which occurs in the theory of the structure of polymers”. Annals of Mathematics, Series 2. 46 (1): 144—157. DOI:10.2307/1969153. JSTOR 1969153.
• Vepstas, L. (February 2007), "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions", arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA] 

• Whittaker, E.T. A Course of Modern Analysis / E.T. Whittaker, Watson. — 4th. — Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1952.
• Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (неопр.) (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Проверено 1 ноября 2005. Архивировано 14 мая 2012 года.
• Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 12: 231–249, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press.  (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131-145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)
• Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization. — Berlin : Springer-Verlag, 2007. — P. 3–65. — ISBN 978-3-540-30307-7.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Polylogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.