WikiSort.ru - Не сортированное

Функция Мёбиуса ${\displaystyle \mu (n)}$  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

${\displaystyle \mu (n)}$ определена для всех натуральных чисел ${\displaystyle n}$ и принимает значения ${\displaystyle {-1,\;0,\;1}}$ в зависимости от характера разложения числа ${\displaystyle n}$ на простые сомножители:

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$ , если ${\displaystyle n}$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение ${\displaystyle n}$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ , если ${\displaystyle n}$ свободно от квадратов и разложение ${\displaystyle n}$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$ , если ${\displaystyle n}$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают ${\displaystyle \mu (1)=1}$ .

Свойства и приложения

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ выполняется равенство ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$ .

• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа ${\displaystyle n}$ , не равного единице, равна нулю

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,}$ где n - положительное целое число.

• ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.}$

• Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$ .

Ряд абсолютно сходится при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}$ , на прямой ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s=1}$ сходится условно, в области ${\displaystyle 1/2<{\rm {Re}}\,s<1}$ утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s<1/2}$ ряд заведомо не сходится, даже условно.

При ${\displaystyle {\rm {Re}}\,s>1}$ справедлива также формула:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (pn)}{n^{s}}}={\frac {p^{s}}{(1-p^{s})\zeta (s)}},}$ где p — простое число.

• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса, также тесно связанной с задачей о нулях дзета-функции Римана

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).}$

• Справедливы асимптотические соотношения:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}\mu (n)=o(1)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum \limits _{n\leq x}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)}}+O({\frac {1}{\sqrt {x}}})}$ ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна ${\displaystyle 1-1/\zeta (2)=0,3920729}$ , а плотность множества единиц (или минус единиц) ${\displaystyle 1/2\zeta (2)=0,30396355}$ . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса

Обобщённая функция Мёбиуса

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения ${\displaystyle \prec }$ . Будем считать, что ${\displaystyle a\preccurlyeq b\iff a\prec b\lor a=b}$ .

См. также

• Свёртка Дирихле

Литература

• Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
• Обобщённая формула обращения Мёбиуса