WikiSort.ru - Не сортированное

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества ${\displaystyle S}$ обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {S}}.}$ Другие обозначения: ${\displaystyle \operatorname {cl} (S),\,\operatorname {Cl} (S),\,S^{-1}.}$

Определения

Следующие два определения равносильны.

Свойства

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   ${\displaystyle S\subseteq {\bar {S}}.}$

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   ${\displaystyle S={\bar {S}}.}$

5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):

   ${\displaystyle {\bar {\bar {S}}}={\bar {S}}.}$

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   ${\displaystyle (S\subset T)\Rightarrow ({\bar {S}}\subset {\bar {T}}).}$

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   ${\displaystyle {\overline {S\cup T}}={\bar {S}}\cup {\bar {T}}.}$

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   ${\displaystyle {\overline {S\cap T}}\subset {\bar {S}}\cap {\bar {T}}.}$

Примеры

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с заданной на ней стандартной топологией.

• ${\displaystyle {\overline {(a,\;b)}}=[a,\;b];}$
• ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} ,}$ где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  — множество рациональных чисел.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 13 мая 2011 года.