WikiSort.ru - Не сортированное

Проекти́вное простра́нство над полем ${\displaystyle K}$  — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства ${\displaystyle L(K)}$ над данным полем. Прямые пространства ${\displaystyle L(K)}$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело ${\displaystyle K.}$

Если ${\displaystyle L}$ имеет размерность ${\displaystyle n+1}$ , то размерностью проективного пространства называется число ${\displaystyle n}$ , а само проективное пространство обозначается ${\displaystyle KP^{n}}$ и называется ассоциированным с ${\displaystyle L}$ (чтобы это указать, принято обозначение ${\displaystyle P(L)}$ ).

Переход от векторного пространства ${\displaystyle L(K)}$ размерности ${\displaystyle n+1}$ к соответствующему проективному пространству ${\displaystyle KP^{n}}$ называется проективизацией пространства ${\displaystyle L(K)}$ .

Точки ${\displaystyle KP^{n}}$ можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки (x₀, ..., x_n) ~ (λx₀, ..., λx_n) , где λ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности ~)

Pⁿ(R) := (Rⁿ⁺¹ ∖ {0}) / ~.

Точки проективного пространства обозначаются как [x₀ : ... : x_n] где числа x_i называются однородными координатами^[1]. Например, [1:2:3] и [2:4:6] обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек P, множества прямых L и отношения инцидентности I, которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

• Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обоим точкам;
• Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
• Если прямые L и M пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки p и q лежат на прямой L, а точки s и r — на прямой M, то прямые ps и qr пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество T множества P, такое что для любых ${\displaystyle p,q\in P}$ из этого подмножества все точки прямой ${\displaystyle pq}$ принадлежат T. Размерностью проективного пространства P называется наибольшее число n, такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}$

Связанные определения и свойства

• Пусть ${\displaystyle M}$ есть гиперплоскость в линейном пространстве ${\displaystyle L}$ . Проективное пространство ${\displaystyle P(M)\subset P(L)}$ называется проективной гиперплоскостью в ${\displaystyle P(L)}$ .
• На дополнении проективной гиперплоскости ${\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}$ существует естественная структура аффинного пространства.
• Обратно, взяв за основу аффинное пространство ${\displaystyle A}$ можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
• Пусть ${\displaystyle P(L')}$ и ${\displaystyle P(L'')}$ ― два проективных подпространства. Множество ${\displaystyle P(L'+L'')}$ называется проективной оболочкой множества ${\displaystyle P(L')\cup P(L'')}$ и обозначается ${\displaystyle P(L'+L'')={\overline {P(L')\cup P(L'')}}}$ .^[3]

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением ${\displaystyle \gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}}$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm \;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.}$

а слоем — вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Каноническая проекция ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ отображает прямую, проходящую через точки ${\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ , в соответствующую точку проективного пространства. При ${\displaystyle n\geq 1}$ это расслоение не является тривиальным. При ${\displaystyle n=1}$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Примечания

Литература

• Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
• Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
• Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
• Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.