WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.

Определение

Поверхность Веронезе — это образ вложения Веронезе, то есть отображения

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

заданного формулами

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

где ${\displaystyle [x:\ldots ]}$ обозначает однородные координаты точки на проективной плоскости.

Отображение Веронезе

Отображение Веронезе степени d из n-мерного проективного пространства — это отображение

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

где m задаётся при помощи биномиального коэффициента:

${\displaystyle m={n+d \choose d}-1.}$

Отображение отпрявляет точку ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ во все возможные мономы от ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ полной степени d. Множество таких мономов называется многообразием Веронезе.

Для низких d отображение тривиально: при d = 0 получается отображение в единственную точку ${\displaystyle \mathbb {P} _{0}}$ , при d = 1 — тождественное отображение; поэтому обычно рассматривается случай d, не меньшего двух.

Можно определить отображение Веронезе не зависящим от координат способом, а именно

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

где V — конечномерное векторное пространство, а ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$  — его симметрическая степень.

Бирегулярность вложения Веронезе

Образ многообразия под действием вложения Веронезе снова является многообразием, причём изоморфным первому (это значит, что существует обратное отображение, которое также регулярно). Таким образом, вложение Веронезе бирегулярно.

Из бирегулярности следует, в частности, что точки общего полложения переходят в точки общего положения. Действительно, если бы образы точек удовлетворяли нетривиальному уравнению, это уравнение задавало бы подмногообразие, прообраз которого был бы подмногообразием, содержащим исходные точки. Также при помощи этого можно показать, что любое проективное многообразие является пересечением многообразия Веронезе и линейного пространства, то есть пересечением квадрик.

Литература

• Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-084-4