WikiSort.ru - Не сортированное

Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;

где $a_{0}$ есть целое число, а все остальные $a_{n}$ — натуральные числа (положительные целые)^[1]. При этом числа $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ называются неполными частными или элементами цепной дроби.^[2]

Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.

Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число $x$ может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$ , где

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,x_{1}={\frac {1}{x_{0}}}-a_{1},

\dots

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,x_{n}={\frac {1}{x_{n-1}}}-a_{n},

\dots

где $\lfloor x\rfloor$ обозначает целую часть числа $x$ .

Для рационального числа $x$ это разложение оборвётся по достижении нулевого $x_{n}$ для некоторого n. В этом случае $x$ представляется конечной цепной дробью $x=[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]$ . Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является алгоритм Евклида.

Для иррационального $x$ все величины $x_{n}$ будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае $x$ представляется бесконечной цепной дробью $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$ . Если последовательность $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$ состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической. Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью, то есть иррациональным корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Подходящие дроби

n-й подходящей дробью для цепной дроби $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]$ , называется конечная цепная дробь $[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]$ , значение которой есть некоторое рациональное число ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен $x$ . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен $x$ . Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей^[3]:

p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+p_{n-2};

q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+q_{n-2}.

Последовательности как числителей $\left\{p_{n}\right\}$ , так и знаменателей $\left\{q_{n}\right\}$ подходящих дробей являются строго возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1},

(1)

Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q_{n-1}q_{n}}}.

Отсюда следует, что

\left|x-{\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q_{n-1}q_{n}}}<{\frac {1}{q_{n-1}^{2}}}.

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число $x$ разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Следствия.

Подходящая дробь ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ является наилучшим приближением исходного числа среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит $q_{n}.$
Мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

Разложим число $\pi =3,14159265...$ в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:

3,{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},~...

Вторая подходящая дробь $22/7$ — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь $355/113$ была впервые получена в Древнем Китае.

Свойства золотого сечения

Ниже приведено разложение золотого сечения:

\varphi =[1;1,1,1,\dots ]

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для $\varphi$ не использует чисел, больших 1, состоит в том, что $\varphi$ является одним из самых «плохо» приближаемых чисел. Точнее, теорема Гурвица^[4] утверждает, что любое действительное число $r$ может быть приближено дробью $m/n$ так, что

\left|r-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.

Хотя практически все действительные числа $r$ имеют бесконечно много приближений $m/n$ , которые находятся на значительно меньшем расстоянии от $r$ , чем эта верхняя граница, приближения для $\varphi$ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы^[5], удерживая расстояние на почти точно $1/(n^{2}{\sqrt {5}})$ от $\varphi$ , тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Можно показать, что этим свойством обладает любое действительное число вида $(a+b\varphi )/(c+d\varphi )$ , где $a,b,c$ и $d$ являются целыми числами, причём $ad-bc=\pm 1$ ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Свойства и примеры

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

9/4=[2;3,1]=[2;4]\;

Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]

золотое сечение

\varphi =[1;1,1,1,\dots ]

Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа $x$ в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие $n$ , то говорят, что число $x$ относится к классу $F(n)$ . Любое вещественное число может быть представлено в виде суммы двух чисел из класса $F(4)$ и в виде произведения двух чисел из класса $F(4).$ ^[6] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представлено в виде суммы трёх чисел из класса $F(3)$ и в виде суммы четырёх чисел из класса $F(2)$ . Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно^[7]^[8].

Открытые проблемы

Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей^[9], а также других алгебраических чисел степени, большей 2, и трансцендентных чисел^[10]. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, основание натурального логарифма представимо в виде^[11]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ],

а тангенс угла в 1 радиан — в виде^[12]

\operatorname {tg} \,1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ]

У числа $\pi$ простой закономерности не видно^[13]:

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]

Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел Вариации и обобщения) прослеживается ясная закономерность.

Неизвестно, ограничены ли сверху неполные частные разложения^[en] таких чисел, как ${\sqrt[{3}]{2}}$ или $\pi$ ^[10]^[14].

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

{\frac {1}{4}};\ {\frac {7}{29}};\ {\frac {8}{33}};\ {\frac {31}{128}};\ {\frac {132}{545}}\cdots

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет^[15]) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.

Теория музыки

В теории музыки при построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы $2:1$ делился на $n$ равных частей, и при этом интервал из $m$ таких частей был по возможности близок к интервалу квинты $3:2$ . Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для $\textstyle \log _{2}3\approx 1,585$ . Третья подходящая дробь $5/3$ даёт равномерно темперированную пентатонику. Четвёртая подходящая дробь $12/7$ приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов^[16].

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: $ax\equiv b{\pmod {m}}$ , где $a,\ b$ известны, причём можно считать, что $a$ взаимно просто с $m$ . Надо найти $x$ .

Разложим ${\frac {m}{a}}$ в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$ . Подставим в формулу (1):

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}

Отсюда вытекает:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}}

, или:

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}

Вывод: класс вычетов $x\equiv (-1)^{n}p_{n-1}b{\pmod {m}}$ является решением исходного сравнения.

Другие приложения

Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана $\zeta (3)$ (константа Апери)
Решение в целых числах уравнения Пелля^[17]: $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$ и других уравнений диофантова анализа
Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
Характеристика ортогональных многочленов
Характеристика устойчивых многочленов

Вариации и обобщения

Ряд источников дают обобщённое определение непрерывной дроби, допуская для числителей в её звеньях не только 1, но и другие целые (в некоторых источниках допускаются даже комплексные) числа^[1]:

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;

Это обобщение повышает гибкость теории, но имеет два недостатка: разложение вещественного числа в непрерывную дробь становится неоднозначным и, кроме того, существование предела подходящих дробей уже не гарантировано — предел может быть бесконечен или вообще может отсутствовать.

Для обобщённых непрерывных дробей формулы Эйлера имеют вид^[18]:

p_{-1}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{n-1}+b_{n}p_{n-2};

q_{-1}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{n-1}+b_{n}q_{n-2}.

При этом:

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}

Выше было сказано, что разложение числа $\pi$ в классическую непрерывную дробь не содержит видимой закономерности. Для обобщённой же непрерывной дроби имеет место формула Браункера^[19]:

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}

Другое направление обобщения состоит в построении и применении аппарата непрерывных дробей не для чисел, а для многочленов — используется тот факт, что делимость многочленов по своим свойствам близка к делимости целых чисел^[20]. Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь^[21]:

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+\ldots }}}}}}\;

Пример: получим разложение для функции $f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2}}}.$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x}}}}}}\;

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение ${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$ — это 12-я подходящая дробь для ${\sqrt {3}}$ или одна треть от 4-й подходящей дроби для ${\sqrt {27}}$ .

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа $\pi$ (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также

Примечания

1 2 Цепная дробь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
↑ Арнольд, 2000, с. 12.
↑ Это значит, что, величины $p_{n}$ и $q_{n}$ представляются значениями континуант:
$p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n})$

$q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$
↑ Hardy, G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers / G. H. Hardy, Wright. — Fifth. — Oxford, 1979.
↑ Дэвенпорт, 1965, с. 93—95.
↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
↑ Вычисления в алгебре и теории чисел, 1976, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155-156.
1 2 P. Shiu. Computation of continued fractions without input values. — 1995.
↑ последовательность A003417 в OEIS: разложение e в непрерывную дробь
↑ последовательность A093178 в OEIS: разложение $\operatorname {tg} \,1$ в непрерывную дробь
↑ последовательность A001203 в OEIS: разложение $\pi$ в непрерывную дробь
↑ последовательность A002945 в OEIS: разложение ${\sqrt[{3}]{2}}$ в непрерывную дробь
↑ На самом деле из-за постепенного замедления вращения Земли, и, соответственно, постепенного уменьшения числа суток в году, подобный календарь накопил бы фактическую ошибку в одни сутки уже через 4000 лет.
↑ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 14—15. — 20 с.
↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
↑ Основы вычислительной математики, 1963, с. 57..
↑ John Wallis, Arithmetica Infinitorum, … (Oxford, England: Leon Lichfield, 1656), page 182. Brouncker expressed, as a continued fraction, the ratio of the area of a circle to the area of the circumscribed square (i.e., 4/π). The continued fraction appears at the top of page 182 (roughly) as: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c , where the square denotes the ratio that is sought. (Note: On the preceding page, Wallis names Brouncker as: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher" (Lord William Viscount and Baron Brouncker).)
↑ Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2). — М.: Гостехиздат, 1956.
↑ Основы вычислительной математики, 1963, с. 70—73..

Литература

Арнольд В. И. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
Бескин Н. М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
Бескин Н. М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
Гладковский С. Н. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.
Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.
Сизый С. В. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и её применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.
Вычисления в алгебре и теории чисел / Пер. с англ. Э. Г. Белаги, под ред. Б. Б. Венкова и Д. К. Фаддеева. — М.: Мир, 1976. — (Математика. Новое в зарубежной науке).
Brezinsky C. History of continued fractions and Padé approximants. NY: Springer, 1980.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[ME-1] 1 2 Цепная дробь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.

[_b117f0fdf8056d52-2] Арнольд, 2000, с. 12.

[3] Это значит, что, величины $p_{n}$ и $q_{n}$ представляются значениями континуант:
$p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n})$

$q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

[4] Hardy, G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers / G. H. Hardy, Wright. — Fifth. — Oxford, 1979.

[_475e1eb0c1775e47-5] Дэвенпорт, 1965, с. 93—95.

[6] M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.

[7] B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.

[8] T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.

[_54217b3ec5ec6693-9] Вычисления в алгебре и теории чисел, 1976, Х. М. Старк. Объяснение некоторых экзотических непрерывных дробей, найденных Бриллхартом, с. 155-156.

[shiu1995-10] 1 2 P. Shiu. Computation of continued fractions without input values. — 1995.

[11] последовательность A003417 в OEIS: разложение e в непрерывную дробь

[12] последовательность A093178 в OEIS: разложение $\operatorname {tg} \,1$ в непрерывную дробь

[13] последовательность A001203 в OEIS: разложение $\pi$ в непрерывную дробь

[14] последовательность A002945 в OEIS: разложение ${\sqrt[{3}]{2}}$ в непрерывную дробь

[15] На самом деле из-за постепенного замедления вращения Земли, и, соответственно, постепенного уменьшения числа суток в году, подобный календарь накопил бы фактическую ошибку в одни сутки уже через 4000 лет.

[16] Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — С. 14—15. — 20 с.

[17] Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.

[_5d8bf0c15362d36d-18] Основы вычислительной математики, 1963, с. 57..

[19] John Wallis, Arithmetica Infinitorum, … (Oxford, England: Leon Lichfield, 1656), page 182. Brouncker expressed, as a continued fraction, the ratio of the area of a circle to the area of the circumscribed square (i.e., 4/π). The continued fraction appears at the top of page 182 (roughly) as: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c , where the square denotes the ratio that is sought. (Note: On the preceding page, Wallis names Brouncker as: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher" (Lord William Viscount and Baron Brouncker).)

[20] Хованский А. Н. Приложения цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа (главы 1 и 2). — М.: Гостехиздат, 1956.

[_28415cac9f67719a-21] Основы вычислительной математики, 1963, с. 70—73..