WikiSort.ru - Не сортированное

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел^[1].

История

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи^[en] к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году^[2] или в 1665 году^[1]) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике»^[3].

Обозначения и свойства

Биномиальные коэффициенты часто обозначаются ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ или ${\displaystyle \textstyle C_{n}^{k}}$ и читаются как «число сочетаний из n элементов по k»^[1].

• Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
• В строке с номером n:
  • первое и последнее числа равны 1.
  • второе и предпоследнее числа равны n.
  • третье число равно треугольному числу ${\displaystyle \textstyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$ , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
  • четвёртое число является тетраэдрическим.
  • m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту ${\displaystyle \textstyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$ .
• Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:

  ${\displaystyle {n-1 \choose 0}+{n-2 \choose 1}+{n-3 \choose 2}+\ldots =F_{n}.}$

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна ${\displaystyle 2^{n}}$ .
• Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, тогда и только тогда, когда n является простым числом^[4] (следствие теоремы Люка).
• Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
• Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Цитаты

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике[5]. Мартин Гарднер

См. также

• Треугольник Серпинского
• Гипотеза Сингмастера

Примечания

Литература

• Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 230-232. — 352 с.
• Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

• Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979. — 48 с. — (Популярные лекции по математике). — 200 000 экз.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Построение треугольника Паскаля