On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Энциклопедия целочисленных последовательностей | |
---|---|
| |
URL | oeis.org |
Тип сайта | интернет-энциклопедия |
Автор | Нил Слоун |
Начало работы | 1996 |
Текущий статус | работает |
Рейтинг Alexa | 43 048[1] |
Энциклопедия целочисленных последовательностей на Викискладе |
Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей (англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) — сетевая энциклопедия, содержащая записи о последовательностях целых чисел[en], таких как числа Фибоначчи, числа Белла, числа Каталана, простые числа[2]. Наполняется по принципу вики с премодерацией. OEIS была создана Нилом Слоуном во время его исследовательской деятельности в AT&T Labs. В октябре 2009 года Слоун передал интеллектуальную собственность и хостинг OEIS организации OEIS Foundation[3][4][5]. В настоящее время Слоун является президентом OEIS Foundation[4].
В OEIS хранится информация о целочисленных последовательностях, представляющих интерес как для любителей, так и для специалистов в математике, комбинаторике, теории чисел, теории игр, физике, химии, биологии, информатике[5][6]. На апрель 2018 года в базе данных хранится свыше 300 000 последовательностей[7].
Запись в OEIS включает в себя первые элементы последовательности, ключевые слова, математическое описание, фамилии авторов, ссылки на литературу; присутствует возможность построения графика или проигрывания музыкального представления последовательности. Поиск в базе данных может осуществляться по ключевым словам и по подпоследовательности[4][5][8].
По-видимому, первым упоминанием OEIS на русском языке стала статья Константина Кнопа «Энциклопедия чисел», опубликованная в журнале Компьютерра в феврале 1998 года, а первым упоминанием «бумажного» предшественника онлайн-энциклопедии — статья Мартина Гарднера «Числа Каталана», опубликованная в журнале Квант в июле 1978 года[8][9].
Нил Слоун начал собирать целочисленные последовательности в 1964—1965 годах, будучи аспирантом в Корнеллском университете, в связи со своими исследованиями в комбинаторике. Изначально база данных хранилась на перфокартах[4][5][10][11].
База данных дважды была опубликована в печатной форме:
Книги были хорошо приняты и, особенно после второй публикации, Слоун стал получать от математиков постоянный поток новых последовательностей. Коллекцию стало невозможно поддерживать в форме книги, и Слоун решил опубликовать базу данных в сети Интернет — вначале в виде e-mail-сервиса (август 1994), а затем в виде веб-сайта (1996). В книге The Encyclopedia of Integer Sequences[11], в частности, говорится:
Имеются две онлайн-версии Энциклопедии, доступные по электронной почте. Первая — простой поисковой сервис, в то время как вторая делает всё, чтобы найти объяснение для последовательности. (...) Второй сервер не только ищет последовательность в таблице — он также пытается найти объяснение для неё, используя многие из описанных в этой главе приёмов.
Оригинальный текст (англ.)There are two on-line versions of the Encyclopedia that can be accessed via electronic mail. The first is a simple look-up service, while the second tries very hard to find an explanation for a sequence. (...) The second server not only looks up the sequence in the table, it also tries hard to find an explanation for it, using many of the tricks described in this chapter...
База данных продолжает расти со скоростью около 10—18 тысяч записей в год[4][5]. В качестве побочного результата своей работы над базой данных в 1998 году Слоун основал Journal of Integer Sequences (рус. Журнал целочисленных последовательностей)[13]. Слоун лично редактировал энциклопедию сначала в бумажном, а затем в электронном виде почти 40 лет, однако с 2002 года ему в этом помогает сообщество редакторов-добровольцев[5][14][15].
В 2004 году в OEIS была добавлена стотысячная последовательность, A100000, подсчитывающая насечки на кости Ишанго[16]. В 2006 году пользовательский интерфейс был полностью переработан, появились дополнительные возможности для поиска. В 2010 году для упрощения совместной работы редакторов и участников была создана OEIS wiki[17][18]. Двухсоттысячная последовательность, A200000, была добавлена в ноябре 2011; вначале она была введена как A200715, но была перемещена в A200000 после недельного обсуждения в списке рассылки SeqFan[19][20], за которым последовало предложение главного редактора OEIS Чарльза Грэтхауса выбрать в качестве A200000 особенную последовательность[21].
Помимо последовательностей целых чисел, в OEIS имеются последовательности дробей, цифр трансцендентных чисел, комплексных чисел, тем или иным способом преобразованные в целочисленные последовательности.
Последовательности рациональных чисел представляются парой последовательностей, помеченных ключевым словом frac
: последовательностью числителей и последовательностью знаменателей. К примеру, ряд Фарея пятого порядка
представлен в виде последовательности числителей
и последовательности знаменателей
Иррациональные числа входят в OEIS в виде последовательностей цифр. Так, число π = 3,1415926535897… можно найти в OEIS в виде:
Очень рано в истории OEIS были предложены последовательности, определённые через нумерацию последовательностей в самой OEIS. Как вспоминает Слоун,
Долгое время я сопротивлялся добавлению этих последовательностей, отчасти из-за желания сохранить репутацию базы данных, отчасти же потому, что были известны лишь 11 элементов A22!
Оригинальный текст (англ.)I resisted adding these sequences for a long time, partly out of a desire to maintain the dignity of the database, and partly because A22 was only known to 11 terms!— N. J. A. Sloane, My favorite integer sequences[22]
Одной из первых самореферентных последовательностей в OEIS была A031135 (позже A091967) «a(n) = элемент последовательности An с номером n». Эта последовательность стимулировала поиск новых элементов последовательности A000022. Некоторые последовательности конечны (ключевое слово fini
) и представлены полностью (ключевое слово full
); такие последовательности не содержат элемента, который соответствует номеру последовательности в OEIS, и соответствующий элемент последовательности A091967 не определён (первый такой случай возникает при n = 53).
OEIS была ограничена простым ASCII-текстом до 2011 года. В текстах записей часто используется линейная форма математической нотации (f(n) для функций, n для переменных и т. д.). Греческие буквы обычно записываются полными именами. Идентификатор каждой последовательности начинается с латинской буквой A, за которой следуют шесть цифр (например, A000315). Отдельные элементы последовательности разделены запятыми. Группы цифр никак не разделены. В комментариях и формулах a(n) обозначает элемент последовательности с номером n.
Ноль часто используется для обозначения несуществующих элементов последовательности. Например, последовательность A104157 перечисляет «наименьшее из n2 последовательных простых чисел, образующих магический квадрат n × n с минимальной магической константой, или 0, если такого магического квадрата не существует». a(1) = 2; a(3) = 1 480 028 129; однако магического квадрата 2 × 2 из последовательных простых чисел не существует, поэтому a(2) = 0.
Иногда для той же цели используется −1, как в последовательности A094076.
В OEIS поддерживается лексикографический порядок последовательностей; таким образом, у каждой последовательности есть предшествующая и последующая последовательности («контекст»). Обычно в целях нормализации ведущие нули, единицы и знаки элементов опускаются.
В качестве примера можно рассмотреть следующие последовательности:
Выделенные фрагменты при определении «контекста» последовательности опускаются.
Запись A046970 была выбрана, так как она содержит все поля, которые может содержать запись из OEIS.
A046970 Generated from Riemann Zeta function: coefficients in series expansion of Zeta(n+2)/Zeta(n). 1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, 192, -3, -288, 24, -360, 72, 384, 360, -528, 24, -24, 504, -8, 144, -840, -576, -960, -3, 960, 864, 1152, 24, -1368, 1080, 1344, 72, -1680, -1152, -1848, 360, 192, 1584, -2208, 24, -48, 72, 2304, 504, -2808, 24, 2880, 144, 2880, 2520, -3480, -576 OFFSET 1,2 COMMENTS B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*Sum(j=1, infinity) [ a(j)/j^(n+2) ] ... REFERENCES M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, pp. 805-811. LINKS M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, 1972 [alternative scanned copy]. Wikipedia, Riemann zeta function. FORMULA Multiplicative with a(p^e) = 1-p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2. a(n) = product[p prime divides n, p^2-1] (gives unsigned version) [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010] EXAMPLE a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3} and mu(1)*1^2 + mu(3)*3^2 = -8. ... MAPLE Jinvk := proc(n, k) local a, f, p ; a := 1 ; for f in ifactors(n)[2] do p := op(1, f) ; a := a*(1-p^k) ; end do: a ; end proc: A046970 := proc(n) Jinvk(n, 2) ; end proc: # R. J. Mathar, Jul 04 2011 MATHEMATICA muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2; Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez) Flatten[Table[{ x = FactorInteger[n]; p = 1; For[i = 1, i <= Length[x], i++, p = p*(x[[i]][[1]]^2 - 1)]; p}, {n, 1, 50, 1}]] [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010] PROG (PARI) A046970(n)=sumdiv(n, d, d^2*moebius(d)) (Benoit Cloitre) CROSSREFS Cf. A027641 and A027642. Sequence in context: A035292 A144457 A146975 * A058936 A002017 A118582 Adjacent sequences: A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973 KEYWORD sign,mult AUTHOR Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com EXTENSIONS Corrected and extended by Vladeta Jovovic (vladeta(AT)eunet.rs), Jul 25 2001 Additional comments from Wilfredo Lopez (chakotay147138274(AT)yahoo.com), Jul 01 2005
Запись в OEIS может содержать следующие поля[23]:
fini
, full
и more
. Чтобы определить, какому значению n соответствуют значения элементов последовательности, используется поле offset
, в котором указано значение n для первого указанного элемента.core
и dumb
, easy
и hard
, full
и more
, less
и nice
, nonn
и sign
.Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .